高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识课时练习

【名师】3.1 空间图形基本位置关系的认识-1课堂练习

一．填空题

1．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长为2，D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，则此三棱锥的外接球被平面DEF所截的截面面积为 _______．

2．空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是______

3．已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，下列命题中：

①若与相交，与相交，则与相交；

②若，，则；

③若平面平面，则，一定是异面直线；

④若，与成等角，则.

真命题是__________.（填序号）

4．点E，F分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为________.

5．如图所示的是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱_______所在的直线与棱所在的直线是异面直线且互相垂直.（注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况）

6．空间中两条直线位置关系有相交．平行和______________．

7．三条直线两两相交，它们可以确定的平面有______个.

8．已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有____________条．

9．已知，，，，则直线与的位置关系用符号语言表示为___________.

10．若平面和平面无公共点，则和的位置关系___________.

11．设m？n是两条不同的直线，α？β是两个不同的平面，则下面四个命题中正确的是___________；

①若m⊥n，m⊥α，nα，则nα；

②若mα，α⊥β，则m⊥β；

③若m⊥β，α⊥β，则mα；

④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；

12．如图，已知正方体各棱长均为1，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

13．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为___________.

14．等腰直角三角形的斜边在平面内，若与所成的角为，则斜边上的中线与所成的角为________.

15．正方体的棱长为，为的中点，为的中点，为线段上的动点，过点．．的平面截该正方体所得的截面记为， 当时，与的交点为，求线段的长度______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据正四面体的边长，求得外接球半径，并求得外接球球心到被平面DEF所截的截面的距离，从而求得外接球被平面DEF所截的截面所在的圆的半径，从而求得面积.

详解：作平面于N点，交平面于M点，取三棱锥P﹣ABC的外接球球心为O，则设外接球半径，

易知，，

则在中，，解得

又D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，则

则球心到平面DEF的距离

此三棱锥的外接球被平面DEF所截的截面为以为半径的圆，

则截面面积为

故答案为：

2．【答案】3

【解析】分析：根据直线平行的性质即可得到结论．

详解：解：若三条直线在同一平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，

若三条直线不在同一平面内，则此时三条直线能确定三个平面，

故三条两两平行的直线可以确定平面的个数为1个或3个，

故答案为：3.

3．【答案】②

【解析】分析：在空间考虑两直线都与第三条直线直线相交的所有可能情况可判断①，根据平行公理可判断②，考虑在两个平面内的两条直线的所有位置关系可判断③，两条直线与第三条直线成等角，这两条直线可相交可平行可异面判断④.

详解：当与相交，与相交时，与可能相交．平行，也可能异面，故①不正确；

由公理4知②正确；

当平面，平面时，与可能平行．相交或异面，故③不正确；

当，与成等角时，与可能相交．平行，也可能异面，故④不正确．

故答案为：②

4．【答案】

【解析】分析：取的中点，连接，则由已知条件可得为异面直线与所成的角，然后在中求解即可

详解：解：如图，取的中点，连接，

因为E，F分别是三棱锥的棱，的中点，，，

所以∥，，∥，，

所以为异面直线与所成的角，

因为，

所以，

所以，即，

所以异面直线与所成的角为

5．【答案】．．．（任选一个作答）

【解析】分析：本题可通过绘出正方体得出结果.

详解：如图，结合图像绘出正方体，

结合正方体性质易知，

棱．．．所在的直线与棱所在的直线是异面直线且互相垂直，

故答案为：．．．（任选一个作答）.

6．【答案】异面

【解析】分析：利用空间中两条直线位置关系判断.

详解：由空间中两条直线位置关系知：相交．平行和异面，

故答案为：异面

7．【答案】1或3

【解析】分析：利用平面的基本性质及推论即可求出.

详解：设三条直线为，

不妨设直线，

故直线与确定一个平面，

（1）若直线在平面内，

则直线确定一个平面；

（2）若直线不在平面内，

则直线确定三个平面；

故答案为：1或3；

8．【答案】3

【解析】分析：根据条件先将直线平移至过点，然后根据直线所成角的角平分线以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的条数.

详解：将直线平移，使两直线经过点，如下图所示：

设直线所成角的角平分线为，过点垂直于直线所在平面的直线为，

因为所成角为，当直线经过点且直线在直线所在平面内且垂直于直线，

此时与直线所成角均为；

当直线在直线所在平面内时，若绕着点旋转，此时与直线所成角相等，

且所成角从变化到，再从变化到，所以此时满足条件的有条，

综上所述：过空间定点与成角的直线共有条，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：已知异面直线所成角为，过空间任意一点作直线，使得与成等角：

（1）当时，此时不存在；

（2）当时，此时有一条；

（3）当，此时有两条；

（4）当时，此时有三条；

（5）当时，此时有四条.

9．【答案】

【解析】分析：根据公理可出结论.

详解：因为，，，则，，即点为平面．的一个公共点，

又因为，由公理可知，.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】分析：根据面面平行的定义即可得答案.

详解：因为平面和平面无公共点，

故根据面面平行的定义得和的位置关系：

故答案为：

11．【答案】①④

【解析】分析：利用线线，线面，面面的位置关系判断选项.

详解：①若m⊥n，m⊥α，nα，则nα，故①正确；

②若mα，α⊥β，则m⊥β，或，或与相交，但不垂直，故②不正确；

③若m⊥β，α⊥β，则mα或，故③不正确；

④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故④正确.

故答案为：①④

12．【答案】

【解析】分析：首先根据平行线得到异面直线与所成角为，接着在直角三角形求解的余弦值即可.

详解：根据题意，由于正方体的结构特点可得,

异面直线与所成角为,

连接，因为面，

且面,

所以

因为E为的中点，所以

根据正方体的结构特点可求得，

所以，

综上异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】分析：根据异面直线的定义，由，得即为异面直线与所成角的平面角，从而得出所求.

详解：解：在正方体中，

因为，

所以即为异面直线与所成的角，

所以异面直线与所成角的大小为.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：设在平面内的射影为点O，连接，则，就是与所成的角，设，根据勾股定理和直角三角形的有关知识求出线面角的正弦值．

详解：如图，

设在平面内的射影为点O，连接，则，就是与所成的角.

设，则，

所以， ，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握线面角的定义与作法.

15．【答案】

【解析】分析：延长交的延长线于点，连接并延长交于点，利用平行线分线段成比例定理可求得的长度，进而可求得的长度.

详解：当时，如下图所示：

延长交的延长线于点，连接并延长交于点，

．分别为．的中点，则，，

，则，可得，

，则，因为，则，故.

故答案为：.