北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理同步训练题

【基础】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-1课堂练习

一．填空题

1．一质点从所有棱长都为1的正五棱柱的顶点E出发，沿正五棱柱的棱运动，每经过一条棱称为一次运动，运动方向是从开始EA上称为第1棱动，AB上第2棱动，上称为第3棱动，…，且第棱动所在棱与第棱动所在的棱是异面直线，经过2019次运动后,质点到达顶点位置是________.

2．已知平面与平面．平面都相交，则这三个平面可能的交线有________条.

3．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出如下命题:

①若⊥，m//，则m⊥;

②若⊥，⊥，则//;

③若⊥，m⊥，，则m//;

④若⊥，∩=m，，n⊥m，则n⊥.

其中正确的是           _.

4．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：

①与平行；

②与是异面直线；

③与成角；

④与垂直.

以上四个结论中，正确的是______.

5．在长方体中，，，点为线段的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点，则的最小值为______．

6．在底面是正方形的长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为             .

7．若将一个的直角三角形的一直角边放在一桌面上，另一直角边与桌面所成角为，则此时该三角板的斜边与桌面所成的角等于________.

8．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是______.

9．长方体中，若.则当最大时，三棱锥的体积为_______

10．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点，空间一点到三个平面3．4．5，则长为________.

11．在正方体中，是中点，为中点，则直线与的位置关系是__________。

12．在棱长均为的正三棱柱中，________.

13．给出下列说法：

①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；

⑤点在平面外，点和平面内的任意一条直线都不共面.

其中所有正确说法的序号是______.

14．平面外的直线与平面所成的角是，则的取值范围是______.

15．在长方体中，，，，那么顶点到平面的距离为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】点

【解析】利用质点运动的周期性，即可得到结果.

【详解】

根据题意可得质点的运动路线为：

不难发现周期为30，而 ，

故经过2019次运动后,质点到达顶点位置是

【点睛】

本题以质点在几何体上运动为背景，考查正方体的性质和距离的计算，同时考查了归纳推理的能力．空间想象能力．异面直线的定义等相关知识，属于中档题．

2．【答案】1条．2条或3条

【解析】分平面β与γ平行和不平行进行讨论，并且以棱柱或棱锥的侧面为例进行研究，即可得到此三个平面的交线条数可能是1条．2条或3条．

【详解】

①若平面β∥平面γ，平面α与平面β，γ都相交，则它们有2条交线，且这2条交线互相平行；

②若平面β∩平面γ＝a，平面α是经过直线a的平面，则三个平面只有一条交线，即直线a；

③若平面β∩平面γ＝a，平面α与平面β，γ都相交，但交线与直线a不重合，则它们有3条交线，

例如棱柱或棱锥的三个侧面相交于三条直线，即三条侧棱

综上所述，这三个平面的交线的条数可能是1条．2条或3条，

故答案为：1条．2条或3条．

【点睛】

本题给出平面α与平面β，γ都相交，求它们交线的条数，着重考查了平面的基本性质和空间平面与平面位置关系等知识，属于基础题．

3．【答案】③④

【解析】对于①②，结合反例可得不正确；对于③，若⊥，m⊥，，则m//；

对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.

【详解】

对于①, ⊥，m//，可得直线可能与平面平行，相交，故不正确；

对于②，⊥，⊥，可得平面可能平行和相交，故不正确；

对于③，⊥，m⊥，可得直线可能与平面平行或者直线在平面内，由于，所以，故正确；

对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.

故答案为：③④.

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的判定，构建模型是求解此类问题的关键，考虑不全面是易错点，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.

4．【答案】③④

【解析】将展开图还原为正方体，根据图像对四个结论逐一分析，由此确定结论正确的序号.

【详解】

展开图复原的正方体如图，不难看出：

①与平行；错误的，是异面直线；

②与是异面直线，错误；是平行线；

③从图中连接，，由于几何体是正方体，故三角形是等边三角形，所以与的夹角是，又，故与成；正确；

④由于，所以平面，所以与垂直.正确

判断正确的答案为③④.

故答案为：③④.

【点睛】

本小题主要考查空间异面直线所成的角，考查空间想象能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】画出图形,利用折叠与展开法则使和在同一个平面,转化折线段为直线段距离最小,即可求得的最小值．

【详解】

当的最小值,即到底面的距离的最小值与的最小值之和.为底面上的动点,当是在底面上的射影,即是最小值.

展开三角形与三角形在同一个平面上,如图:

长方体中，，

长方体体对角线长为:

在中: 故

故

过点作,即为最小值.

在,

故答案为:.

【点睛】

解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.

6．【答案】

【解析】连接,且,为平行四边形,.或其补角即为直线与所成的角.令,则,.在中,.所以异面直线与所成角的余弦值为.

考点：1异面直线所成的角;2余弦定理.

7．【答案】

【解析】直角三角形中,,,平面,，交于,,此时该三角板的斜边与桌面所成的角为,求出即可.

【详解】

如图,

直角三角形中,

,

,

平面,

,

交于,

,

此时该三角板的斜边与桌面所成的角为,

设,

则,

,

,

.

所以该三角板的斜边与桌面所成角为.

故答案为:

【点睛】

本题主要考查空间立体几何中已知线面角求线面角；把实际问题转化为数学图形是求解本题的关键;属于中档题;考查学生理论联系实际的能力.

8．【答案】

【解析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD中点E，连接BE，PE，CE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知为异面直线PB与CD所成角，在直角三角形中，求出其正切值即可.

【详解】

作出直观图如图：

取AD中点E，连接BE，PE，CE，

因为CDBE，

根据异面直线所成角的定义可知为异面直线PB与CD所成角，

由条件知，，

.

【点睛】

本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力．运算能力，属于中档题.

9．【答案】

【解析】为了研究最大值，我们设，，并且有，

将用表示出来，根据结构，考虑用基本不等式的变形式来研究最值，然后根据等号的成立条件即可求出三棱锥的体积。

【详解】

解：设，，则，

当且仅当时等号成立，此时，

三棱锥的体积=，

故答案为：。

【点睛】

本题考查利用代数方法来研究几何的最值，其中及时使用基本不等式的变形式：

来求最值是关键，是中档题。

10．【答案】

【解析】构造棱长为a,b,c的长方体,P到三个面的距离即为长方体共顶点O的三条棱的长,OP为长方体的体对角线,求出OP即可.

【详解】

构造棱长为a,b,c的长方体,

P到三个面的距离即为长方体共顶点O的三条棱的长,

则,

因为OP为长方体的体对角线,

所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查空间点．线．面间的距离的计算；通过构造长方体模型求长是求解本题的关键;考查运算能力;属于中档题.

11．【答案】相交

【解析】作出辅助图形，考虑与的长度和位置关系来确定直线与的位置关系.

【详解】

如图所示，连接，连接：

因为是中点，为中点，所以，又因为，所以，所以四点共面，

又因为，所以四边形为梯形，所以直线与相交.

故答案为：相交.

【点睛】

本题考查空间中的直线的位置关系的判断，难度较易.空间中的两条直线之间的位置关系可能有以下几种：平行．重合．相交．异面.

12．【答案】

【解析】首先画出正三棱柱，求出边长和，最后求面积.

【详解】

因为是正三棱柱，并且棱长都为1，

是腰长为，底边长为1的等腰三角形，

所以底边的高，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查几何体中几何量的求法，意在考查空间想象能力，属于基础题型.

13．【答案】③④

【解析】对于①由线面关系可得线段与平面相交或线段在平面内；

对于②四个点不在同一个平面，即可判定；

对于③由平行四边形的定义可判断命题正确；

对于④，由点与线及线与面的关系可得，第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；

对于⑤中，由直线外一点与直线确定一个平面即可判断.

【详解】

①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点和平面内的任意一条直线都能确定一个平面.

故答案为：③④

【点睛】

本题考查了空间点与线，点与面．线与面的位置关系，重点考查了平面的基本定理及公理，属基础题.

14．【答案】

【解析】根据直线在平面外包含：直线与平面相交．直线与平面平行，即可求解.

【详解】

直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交．直线与平面平行.当直线与平面相交时，，当直线与平面平行时，，所以的取值范围为 .

故答案为：

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角的范围，属于基础题.

15．【答案】

【解析】作出图形，计算出四面体的体积，并计算出的面积，然后利用等体积法计算出点到平面的距离.

【详解】

如下图所示：

三棱锥的体积为.

在中，由勾股定理得，同理可得，

取的中点，连接，则，由勾股定理得.

所以，的面积为.

设点到平面的距离为，则，解的.

因此，点到平面的距离为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法．空间向量法，考查计算能力，属于中等题.