北师大版 (2019)必修 第二册3.1 二倍角公式达标测试

【基础】3.1 二倍角公式-1同步练习

一．填空题

1．若，则_____．

2．在中，为边上一点，，，则_______.

3．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，则的值是________.

4．若，，则______.

5．已知是第三象限角，，则______；______．

6．已知 =，则的值是____.

7．若函数，则的值为______.

8．已知，则__________．

9．若，则__________．

10．已知，，则________．

11．若，则_____.

12．已知，则______.

13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则________

14．已知向量，，且，则=________.

15．已知，则__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用两角和的正弦公式将式子展开得到，再将等式两边平方，利用二倍角正弦公式计算可得；

详解：解：因为，

所以

所以，两边平方可得，所以

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.

2．【答案】

【解析】令，根据得，再利用三角恒等变换公式，求出，，再利用计算即可.

详解：解：如图，

设，由可知：，所以，

所以，

即，∴.

于是.

故答案为：

【点睛】

本题考查正弦的二倍角公式，差角公式，同角三角函数关系等，考查数学运算能力，是中档题.

3．【答案】

【解析】根据三角函数定义可求出，由同角基本函数关系及诱导公式即可求解.

详解：由三角函数定义知，，.

∴，

∴，

∴，

∴.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式，属于中档题.

4．【答案】

【解析】先由已知，利用及两角和的正切公式算得，再利用二倍角公式计算即可得到答案.

详解：由已知，，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换中的给值求值问题，涉及到两角和的正切公式．二倍角公式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

5．【答案】     

【解析】用诱导公式求，用二倍角公式求，注意确定的范围．

详解：，

，∴．

∵是第三象限角，∴是第二或第三象限角．

若是第二象限角，则，，

此时，不满足，∴是第三象限角．

∴，∴．

故答案为：；．

【点睛】

本题考查诱导公式，考查二倍角公式，解题时要注意确定角的范围，能确定函数值的正负．

6．【答案】

【解析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.

详解：

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和正弦公式．二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

7．【答案】

【解析】由已知利用二倍角公式可求，进而根据特殊角的三角函数值即可求解.

详解：解：∵，

∴.

故答案为：.

【点睛】

此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题

8．【答案】

【解析】若，由二倍角的余弦公式可得，，故答案为.

9．【答案】

【解析】详解：

10．【答案】

【解析】由二倍角求得α，则tanα可求．

详解：由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，

∵,

∴sinα≠0,则,即.

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题.

11．【答案】-3

【解析】利用二倍角公式化简，可求出的值，将所求利用二倍角公式化简，再利用齐次式求出结果即可.

详解：因为，所以，则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数的二倍角公式，考查齐次式的应用，属于基础题.

12．【答案】

【解析】将分子分母中三角函数利用二倍角公式化简即可

详解：解：

 故答案为：

【点睛】

此题考查三角函数恒等变换的二倍角公式和同角三角函数的关系，属于基础题.

13．【答案】

【解析】直接利用单位圆求出三角函数的值，进一步利用三角函数关系式的变换求出结果．

【详解】

角的终边与单位圆的交点坐标是，，

所以，，

所以．

故答案为：.

【点睛】

本题考查单位圆中三角函数的定义．同角三角函数的基本关系．二倍角公式，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．

14．【答案】

【解析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解，然后利用二倍角公式求解即可．

详解：解：向量，，且，

可得，

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量共线的充要条件，二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．

15．【答案】

【解析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用代换化为关于的二次齐次式，再化为求值．

详解：.

故答案为：．

【点睛】

本题考查正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考查“1”的代换．解题时注意关于的齐次式的化简求值方法．