数学3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理课堂检测

【优编】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-1同步练习

一．填空题

1．已知棱长为1的无盖正方体容器中装有直径为1的实心铁球且盛满了水，另将半径为的小球缓慢放入容器中，若小球能完全淹入水里，则的取值范围是_________．

2．在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是      ．

3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成角为90的面对角线共有_______条．

4．如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有________条.

5．若则的位置关系是_______.

6．在正方体中,点是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为________.

7．已知球与棱长为的正方体的所有棱相切,点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是_______.

8．在棱长为6的正方体中，M是BC的中点，点是正方形内（包括边界）的动点，且满足，则______，当三棱锥的体积取得最大值时，此时______.

9．不共面的四点最多可以确定平面的个数为_________.

10．已知三个不同平面．．和直线，下面有四个命题：

①若，，，则；

②直线上有两点到平面的距离相等，则；

③，，则；

④若直线不在平面内，，，则.

则正确命题的序号为__________．

11．是一个平面，是两条直线，是一个点．若m？α，，且，，则的位置关系不可能是_________.

12．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有________个

13．用符号表示“点A在直线l上，点B不在直线l上，l在平面α外，l在平面β内”，正确的表示有_________________．

①②③④⑤⑥⑦⑧

14．在空间四边形中，，．分别是对角线．的中点且，则异面直线．所成角的大小为________.

15．已知四面体为正四面体，，分别为的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】找出临界条件，计算出最大值即可求出范围，临界条件为小球与正方体的三个面及大球均相切，作出对应图象的轴截面图，利用相应的关系 建立条件关系，即可求球的半径．

【详解】

解：根据题意临界条件为小球与正方体的三个面及大球均相切，如图所示

设大球的球心为，

正方体的棱长为，

正方体的内切球的半径，正方体的体对角线为，

设小球球的半径为，

作出对应的轴截面图如图：

则，

且，

，

即，

，

．

故

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间正方体与球的内切问题，根据条件建立球半径之间的关系是解决本题的关键，属于难题．

2．【答案】45°

【解析】根据条件知倒出水的体积为圆柱体积的，而可看出流水之后空出部分恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱，从而该短圆柱的体积为原来圆柱体积的，由此可解出短圆柱的高，进而找出母线和水平面所成的角，根据三角函数求出该角即可．

解：如图，∵倒出水；

；

设圆柱的母线与水平面所成的角为α；

则tanα=；

∴α=45°；

即圆柱体的母线与水平面所成角的大小是45°．

故答案为：45°．

考点：直线与平面所成的角．

3．【答案】1

【解析】在正方体的上．下面，左．右面，前．后面逐一去找出能与垂直的面对角线，得出结论.

【详解】

与面对角线，异面，所成的角是，由于，又，

所以，而与正方体其它异面的面对角线都不垂直，

所以与AD1异面且与AD1所成角为90的面对角线共有1条，

故填：1.

【点睛】

本题考查空间里的异面直线和其垂直关系，属于基础题.

4．【答案】6

【解析】根据几何体依次写出与直线成异面的直线即可得解.

【详解】

正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线如下：

，一共6条.

故答案为：6

【点睛】

此题考查异面直线的辨析，关键在于根据几何体特征准确找出与直线成异面的直线.

5．【答案】相交或异面

【解析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果．

【详解】

在正方体中，

，，与相交，

，，与异面，

直线，，则与的位置关系相交或异面．

故答案为：相交或异面

【点睛】

本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线．线面．面面间的位置关系的合理运用．

6．【答案】.

【解析】画出几何图形, 因为,故异面直线与所成角,即是直线与所成角,即可求得答案.

【详解】

连接,如图:

异面直线与所成角,即是直线与所成角

设正方体的边长为,

在中,根据勾股定理可得:,

在中,根据勾股定理可得:

异面直线与所成角的余弦值为:

故答案为:.

【点睛】

本题考查了求异面直线夹角的余弦值,解题关键是掌握异面直线夹角转化为共面直线夹角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

7．【答案】.

【解析】由题可得球的半径,再根据运动规律与半径的大小进行分析即可.

【详解】

设与正方体的各棱都相切的球的球心为,其半径为,正方体的外接球为,则三角形的外接圆是正方体的外接球为的一个小圆,其半径.

因为点在与正方体的各棱都相切的球面上运动,点在三角形的外接圆上运动,

所以线段长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径,线段长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径,

由此可得线段的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正方体外接球与相切球的性质运用,需要根据题意判定取最值时线段长度与球半径的关系.属于中等题型.

8．【答案】2     

【解析】建立如图所示坐标系，设点坐标为，由，利用正弦值相等求得，进一步得到点的轨迹为圆，再利用圆的方程得到取最大值时，三棱锥的体积取得最大值，从而求得的值.

【详解】

建立如图所示坐标系，设点坐标为，

因为，所以，

所以，即.

因为，，

所以，

所以，

即；

点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆，又因为，，

若三棱锥P-BCD的体积得最大值，则三棱锥的高最大，即最大，

当时，最大值为，

所以.

故答案为： 2；.

【点睛】

本题考查空间中点的轨迹问题．三棱锥体积的最值，考查函数与方程思想．转化与化归思想．数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法思想的运用.

9．【答案】4个

【解析】不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况,由于不共线的三个点确定一个平面,从而可以得出结果.

【详解】

解： 不共线的三个点确定一个平面,

不共面的四点就一定不存在三个点共线的情况.

从个点中任取个点都可以确定一个平面,共有种结果.

故答案为：个

【点睛】

本题考查平面的基本性质及推论,考查不共线的三点可以确定一个平面,考查组合数的应用,本题是一个基础题.

10．【答案】①③

【解析】利用面面垂直的性质定理和线面平行的性质定理判断出命题①的正误；判断出直线与的位置关系，可判断出命题②的正误；利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断出命题③的正误；判断出直线与平面的位置关系，可判断出命题④的正误.

【详解】

对于命题①，若，则存在异于直线的直线，当垂直于平面与的交线时，，又，则，，且，，，命题①正确；

对于命题②，直线上有两点到平面的距离相等，则与平行或相交，命题②错误；

对于命题③，过直线作平面，使得，，由直线与平面平行的性质定理可知，，，又，，命题③正确；

对于命题④，若直线不在平面内，，，则或，命题④错误.

因此，正确命题的序号为①③.

故答案为：①③.

【点睛】

本题考查空间中线面关系．面面关系有关命题正误的判断，在判断时可充分利用线面．面面平行与垂直的判定和性质定理进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.

11．【答案】平行

【解析】

试题分析：由已知得n在平面上，m与平面相交，A是和平面相交的点，从而m和n异面或相交，一定不平行．

【详解】

∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，

m？α，n？α，

∴n在平面上，m与平面相交

∵A∈m．A∈

∴A是和平面相交的点

∴m和n异面或相交，一定不平行．

故答案为：平行．

【点睛】

本题考查两条直线的位置关系的判断，考查推理论证能力．运算求解能力．空间思维能力，考查转化化归思想．数形结合思想，是基础题．

12．【答案】20

【解析】由平面的基本性质可得：两平行线确定一个平面，两相交直线确定一个平面，故分这两类研究即可.

【详解】

解：正方体各个面中，相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面，又因为每个顶点对应一个符合条件的平面，这样又有8个平面，而每个面上的两条相交的对角线确定6个表面，则共有个平面，

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了平面的基本性质，重点考查了空间想象能力，属基础题.

13．【答案】①③⑥⑧

【解析】利用点线面的关系，用符号表示即可．

【详解】

点在直线上，直线在平面外，点B不在直线l上， l在平面β内.

，,，．

正确的为：①③⑥⑧

故答案为：①③⑥⑧

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系，点与直线的位置关系，正确理解点线面的关系和符号表示是解题的关键．

14．【答案】

【解析】取AD的中点E，连接ME．NE，根据中位线的性质可知AB与CD的夹角即为ME与NE的夹角，从而利用余弦定理求出夹角即可.

【详解】

如图，取AD的中点E，连接ME．NE，

则，

且AB与CD的夹角即为ME与NE的夹角，

根据余弦定理可得，，

又异面直线所成角的范围为：，

所以直线AB与CD所成角即为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查异面直线所成角，通常利用中位线或者平行四边形的性质构造所求角，注意异面直线所成角的范围，属中档题.

15．【答案】

【解析】补成一个正方体，在正方体中可解决。

【详解】

补成正方体，如图，

，

截面为平行四边形，可得，

又，且，

，可得，

 当且仅当时取等号。

故答案为：

【点睛】

本题考查立体几何中的截取问题，同时也考查了用基本不等式求最值，属于综合性题目。