数学北师大版 (2019)2.3 三角函数的叠加及其应用课后练习题

【名师】2.3 三角函数的叠加及其应用-2优选练习

一．填空题

1．若，为锐角，且，则__________；__________

2．（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan43°）（1+tan44°）=                      ．

3．在中,已知,给出以下四个论断:

①,②,③,④,其中正确的是__________.

4．已知，则=__________．

5．若，，，，则______.

6．已知，则__________.

7．若，则________.

8．在锐角三角形ABC中，，则的值为_________.

9．在中，，，则的值是______________.

10．已知函数，.若函数在区间，内恰有5个零点，则的取值范围为_________．

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，则的最大值为________.

12．《周脾算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则______.

13．若，则_______

14．若,则______,应用此结论求的值为______.

15．如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】     

【解析】利用两角和差正切公式来构造出，代入可求得结果；根据的规律可整理得到结果.

【详解】

即

故答案为：；

【点睛】

本题考查利用两角和差正切公式求值的问题，关键是能够通过两角和差正切公式和特殊角三角函数值构造出所求式子的构成部分.

2．【答案】

【解析】因为tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），且A+B=45°，即tanA+tanB=1-tanAtanB，

所以（1+tanA）（1+tanB）=tanA+tanB+1+tanAtanB=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2，

即（1+tanA）（1+tanB）=2.

因为1°+44°=45°，2°+43°=45°，…，22°+23°=45°，

所以（1+tan1°）（1+tan44°）=2，（1+tan2°）（1+tan43°）=2，…，（1+tan22°）（1+tan23°）=2，

所以原式=2×2×2××2=222.

【考点】两角和的正切公式的灵活运用．

【思路点睛】注意观察题目中的角及三角函数名称，可想到与两角和的正切公式有联系，所以通过两角和的正切公式得到：若A+B=45°，则（1+tanA）（1+tanB）=2.然后设s=（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan43°）（1+tan44°），则s=（1+tan44°）（1+tan43°）（1+tan2°）（1+tan1°），所以以上两式相乘得，．三角函数一章中，公式多．运用灵活，所以应多练．多总结．

3．【答案】②④

【解析】已知式子变形可得，逐个选项判定即可.

【详解】

解：因为

所以

整理得 .

所以.

①中：因为，所以不一定等于，故①不正确；

②中：因为

又因为 ，所以

所以.故②正确；

③中：，不一定成立，故③不正确；

④中：,,

所以.故④正确.

【点睛】

本题考查两角和与差的三角函数公式，命题的真假的判断，属基础题.

4．【答案】

【解析】

=

5．【答案】

【解析】由于，利用两角和差公式可求出的值.

【详解】

解：因为，

所以，

所以，

同理可得：，

故

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了两角和差公式的知识，解决问题的关键是整体思想的意识，还要关注角的范围的确定.

6．【答案】

【解析】利用诱导公式结合两角和的正切公式，即可求解.

【详解】

，

.

故答案为:

【点睛】

本题考查三角函数化简，求值，属于基础题.

7．【答案】

【解析】【详解】

由题意可得：

，

即：，

解方程可得：.

8．【答案】79

【解析】由题意可得，进而可得，而，由两角和与差的正切公式可得．

【详解】

解：∵在锐角三角形中，

，

，

，

，

故答案为：79.

【点睛】

本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．

9．【答案】.

【解析】根据三角形内角和是，以及两角和的余弦公式，并使用诱导公式和平方关系，可得结果.

【详解】

在中，，

所以

又，所以

可知为锐角，

所以

又，可知

所以

即

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和的余弦公式，还考查三角形中角的大小的判断，属基础题.

10．【答案】，

【解析】令可得，由于，所以，由题意可求且，即可解得的取值范围.

【详解】

因为，

所以令，，解得

，则非负根中较小的有：

因为函数在区间，内恰有5个零点，

所以且，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和的正弦公式，正弦型函数的零点，属于中档题.

11．【答案】

【解析】先求得的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得的最大值．

【详解】

中，若的面积为，，．

，

当且仅当时，取等号，故 的最大值为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．

12．【答案】

【解析】设大正方形的边长为1,则根据两个正方形的面积比可求得小正方形的边长.表示出直角三角形两条直角边的关系,再由余弦的差角公式及同角三角函数关系式即可得解.

【详解】

设大正方形的边长为1,则大正方形的面积为1

因为小正方形与大正方形的面积之比为

所以小正方形的面积为,则小正方形的边长为

由图可知

且,

两式相乘可得

化简可得

解得

故答案为:

【点睛】

本题考查了三角函数的应用,余弦的和差公式及同角三角函数关系式的应用,关键在与理清边长与角的关系,属于中档题.

13．【答案】

【解析】由，结合已知，利用诱导公式可得答案．

【详解】

，

，

故答案为：.

【点睛】

三角函数式的化简求值要遵循“三看”原则：

（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

14．【答案】     

【解析】利用两角和差正切公式可整理求得；将所求式子分组作乘积，进而求得结果.

【详解】

    ，即

故答案为：；

【点睛】

本题考查利用两角和差正切公式求值问题，关键是能够通过将进行拆分，求出的值.

15．【答案】     

【解析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；

（2）在中，求出，结合（1），即可求解.

【详解】

（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，

在中，；

（2）在中，，

.

故答案为：(1)； (2)

【点睛】

此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.