北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.3 三角函数的叠加及其应用练习题

【精编】2.3 三角函数的叠加及其应用-2作业练习

一．填空题

1．已知，则___________

2．已知，，则___________.

3．若，则的最小值为          .

4．己知,,则的值为__________.

5．已知，则________.

6．，是方程的两个实数根，若，则______.

7． =__________．

8．已知，，则的值为_____.

9．______．

10．若，，则________.

11．已知，，则__________.

12．若,且，则__________．

13．__________.

14．已知，则__________．

15．若，，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用转化为已知角的函数值求解即可.

【详解】

解：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.

2．【答案】

【解析】将题中两个等式平方，相加后利用两角和的余弦公式可计算出的值.

【详解】

由题意可得，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查两角和的余弦值的计算，解题时要结合等式的结构选择相应的公式来计算，考查计算能力，属于中等题.

3．【答案】

【解析】,

当且仅当时取等号.

4．【答案】

【解析】，再根据两角差的正切公式即可求出答案．

【详解】

解：∵，，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于给值求值型，要注意角与角之间的联系，属于基础题．

5．【答案】

【解析】化切为弦得到，由已知展开，可求得的值，进而求出结论.

【详解】

.

又

，

则.

故答案为:.

【点睛】

本题考查三角函数求值，考查两角和差的正弦公式应用，化切为弦是解题的关键，属于中档题.

6．【答案】

【解析】先由韦达定理，得到两根之和与两根之积，再由两角和的正切公式，即可求出结果.

【详解】

因为，是方程的两个实数根，

所以，

因此；且，；

又，所以，即，

因此.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由两角和的正切公式求角的问题，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型.

7．【答案】

【解析】根据式子中角度的规律，可知，，变形有，由此可以求解．

【详解】

根据式子中角度的规律，可知，，变形有．所以

，，

，，，

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．

8．【答案】

【解析】对给定的两个三角函数关系式两边平方后再相加，则可得的值.

【详解】

因为，，

所以，，两式相加后可得

，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查两角和的余弦，注意根据公式的结构特点把三角函数的求值问题转化为的差，从而采取两边平方的变形策略以便产生前者，本题为中档题.

9．【答案】

【解析】将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.

考点：两角和的正弦

10．【答案】

【解析】根据展开化简得到答案.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.

11．【答案】

【解析】将和分别平方，再求和，即可得出．

【详解】

解：∵，两边同时平方得，

又，同理得，

两式相加得，

化简得，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查两角差的余弦公式得应用，考查整体思想，属于基础题．

12．【答案】

【解析】，则，

，则，

，则，故，据此可得：

13．【答案】

【解析】利用诱导公式化简得：，再利用两角差的余弦公式，即可得到答案.

【详解】

因为

.

故答案为：

【点睛】

本题考查诱导公式．两角差的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题.

14．【答案】-1

【解析】注意观察角x．的关系可发现x．均能用已知角和特殊角表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．

【详解】

故答案为-1.

【点睛】

三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

15．【答案】2

【解析】先求出，再由结合两角差的正切公式可求.

【详解】

因为，故即，所以

.

故答案为：.

【点睛】

三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法．辅助角公式（或公式的逆用）．角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）．升幂降幂法．