北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用课后测评

【基础】2.3 三角函数的叠加及其应用-1课时练习

一．填空题

1．已知函数．若是第二象限角，，则________．

2．已知α，β均为锐角，tan α，tan β，则α＋β=________.

3．的值为________．

4．已知，则__________.

5．=__________．

6．___________．

7．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．集合相对任何常数的“余弦方差”是一个常数，这个常数是___________．

8．若，则_________.

9．若，则_______．

10．已知，，则__________．

11．化简下列各式：

（1）________；

（2）_________．

12．求值：_________．

13．若将化为的形式，则________，________；若将化为的形式，则_________，________．

14．已知，则______.

15．若，是方程的两个根，则__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】或

【解析】根据，化简得到，然后再根据是第二象限角求解.

详解：因为,

所以，

化简得：，

所以或，

因为是第二象限角，

当时，，所以

当时，

综上：或

故答案为: 或

【点睛】

本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2．【答案】

【解析】根据已知条件，利用正切的和角公式，即可求得结果.

详解：∵tanα＝，tanβ＝，

∴tan(α＋β)＝＝＝1.

∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0,π)，

∴α＋β＝.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正切的和角公式，以及给值求角问题，属基础题.

3．【答案】

【解析】由，结合两角和的余弦公式可求得所求值.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用两角和的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】因为，再代入求解..

【详解】

∵已知

所以，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】利用诱导公式将原式变为，然后再逆用两角和的正弦公式求解．

详解：

．

【点睛】

本题考查角的变换和两角和正弦公式的逆用，考查变换能力和运算能力，属于容易题．

6．【答案】

【解析】根据题意把要求的式子化为，再利用两角和的正切公式即可求出结果．

详解：，故答案为．

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式的逆用，根据三角函数的值求角，属于基础题．

7．【答案】

【解析】由新定义结合两角差的余弦公式及诱导公式计算可得．

详解：当集合时，

集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”

μ

故答案为：

【点睛】

本题考查新定义，涉及三角函数的两角差的余弦公式．诱导公式及平方关系，熟记公式是关键，属基础题．

8．【答案】

【解析】利用两角和差的余弦公式及同角三角函数的基本关系即可求解；

详解：解：因为

所以

即

所以

所以

所以

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和与差的余弦公式的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题.

9．【答案】

【解析】根据，结合正切的差角公式即可求得的值．

详解：因为，且

所以

所以

【点睛】

本题考查了正切的差角公式的简单应用，属于基础题．

10．【答案】

【解析】详解：因为，

所以，①

因为，

所以，②

①②得，

即，

解得，

故本题正确答案为

11．【答案】     

【解析】（1）利用两角差的正弦公式计算可得所求代数式的值；

（2）利用两角和的正弦．余弦公式化简所求代数式，可得结果.

详解：（1）原式；

（2）原式.

故答案为：（1）；（2）.

【点睛】

本题考查利用两角和与差的正弦．余弦公式化简求值，考查计算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】利用诱导公式和两角差的正弦公式进行化简求值.

详解：依题意原式

.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查诱导公式．两角差的正弦公式，属于基础题.

13．【答案】             

【解析】由题意结合两角和的正弦．余弦公式对条件进行转化，利用对应相等即可得解.

详解：由题意

，

所以，，

所以，；

同理

，

所以，，

所以，.

故答案为：；；；.

【点睛】

本题考查了两角和正弦．余弦公式的应用，考查了运算求解能力，熟练使用公式．细心计算是解题关键，属于中档题.

14．【答案】

【解析】，然后算出即可.

详解：.

故答案为：

【点睛】

本题考查正切函数的和差公式，找出已知角与所求角的关系是解题的关键.

15．【答案】

【解析】由韦达定理得，再求出，即得解.

详解：由题得.

所以，

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查和角的正切公式的应用，考查正切函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.