高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式课后复习题

【基础】2.4 积化和差与和差化积公式-1练习

一．填空题

1．若，则_____

2．已知，，则的值为_______________.

3．已知，则的值为______.

4．在△中，角所对的边分别为，,，则______.

5．已知锐角满足，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知过原点且倾斜角为的直线与圆相切，则的值为__________．

7．若，，，且，，则的值为______．

8．若2tanα=tan420°，则=__________．

9．在中，，则______．

10．已知，，则的值为________.

11．已知，，则______.

12．若当时,函数取最大值,则______.

13．已知，tanα=2，则=______________．

14．的值等于_________.

15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（7，5），OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，则点Q的坐标为_______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】用两角和与差的正弦公式．同角三角函数的基本关系式将已知条件左边展开，化简后求得的值.

【详解】

由得，，

，

.所以.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查两角和与差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解．

【详解】

由，即，

则，

又由，所以，

又由．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简．求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

3．【答案】

【解析】根据已知条件求得的值.将所求表达式化为只含的式子，由此求得表达式的值.

【详解】

依题意.

而.

【点睛】

本小题主要考查利用诱导公式．二倍角公式和降次公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

4．【答案】

【解析】由已知利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据正弦定理可求的值．

【详解】

因为，所以，

因为，

所以.

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

5．【答案】D

【解析】根据为锐角可求得，根据特殊角三角函数值可知，从而得到，进而求得结果.

【详解】

    ，又

，即   

本题正确选项：

【点睛】

本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够熟悉特殊角的三角函数值，根据角的范围确定特殊角的取值.

6．【答案】

【解析】设直线，由题意，所以，应填答案。

7．【答案】

【解析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.

【详解】

∵，

∴(？2β)3？2sinβcosβ？2λ=0，

即(？2β)3+sin(？2β)？2λ=0.

由可得.

故？2β和是方程x3+sinx？2λ=0的两个实数解.

再由，，，

所以和的范围都是，

由于函数x3+sinx在上单调递增，

故方程x3+sinx？2λ=0在上只有一个解，

所以，，∴，

则的值为.

【点睛】

本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．【答案】

【解析】∵2tanα=tan420°=tan60°=，∴tanα=，∴=–3，故答案为：．

9．【答案】

【解析】由已知求得，进一步求得，即可求出．

【详解】

由，

得，

即，，

则，

，，则．

【点睛】

本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值。

10．【答案】

【解析】利用两角差正切公式即可得到结果.

【详解】

∵，，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数恒等变换知识，考查角的配凑法，考查两角差正切公式，考查运算能力.

11．【答案】

【解析】用两角和与差的正弦公式拆解两个已知条件，分别求出和的值，比值即为最后所求。

【详解】

     ①

   ②

① +②得：     ③

①-②得：      ④

两式相除：

故填

【点睛】

两角和与差的正弦公式，解得和并构造所求式子。

12．【答案】

【解析】根据两角差的正弦公式化简函数，利用最大值求出，即可求解.

【详解】

因为，

所以当,即时函数取得最大值1，

此时.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了两角差的正弦公式的逆用，正弦函数的最值，属于中档题.

13．【答案】

【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．

14．【答案】

【解析】利用三角函数的诱导公式和两角和的正弦函数的公式，准确运算，即可求解.

【详解】

由题意，可得

.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角和的正弦公式的化简．求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

15．【答案】

【解析】求出的表达式，设出点Q的坐标，根据OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，结合两角和的正弦．余弦公式可以求出点Q的坐标.

【详解】

，其中，

设点Q的坐标为，，由意可知：

，

，

故点Q的坐标为.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标表示，考查了两角和的正弦公式．余弦公式，考查了数学运算能力.