高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用练习

【优选】2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-1作业练习

一．填空题

1． 函数的最大值为_________.

2．若，，则______.

3．已知，，，，求________.

4．已知，，则___________.

5．已知，，则__________．

6．_____.

7．_______.

8．已知．，，，则______.

9．已知，，则__________；

10．函数的最大值为__________.

11．在平面直角坐标系中,角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边过点,则______________.

12．已知，则的值是______.

13．计算________

14．已知，且，则_________，_________.

15．______.

参考答案与试题解析

1．【答案】1

【解析】由题意知：=

==

==，即，因为，所以的最大值为1.

考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数．三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.

2．【答案】

【解析】先由和可得到,根据计算即可

详解：,

,

故答案为

【点睛】

本题考查求三角函数值,考查凑角求值问题,利用已知角构造所求角会简化运算

3．【答案】

【解析】根据，，可求出，，，可求出，将展开代值即可.

【详解】

由，，得.

由，，得.

故答案为：

【点睛】

本题考查同角三角函数间的关系和余弦的差角公式，属于基础题.

4．【答案】1

【解析】利用正切的和角公式，即可容易求得结果.

详解：因为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正切的和角公式，属简单题.

5．【答案】

【解析】【详解】

因为，

所以，①

因为，

所以，②

①②得，

即，

解得，

故本题正确答案为

6．【答案】

【解析】利用两角和与差的余弦函数公式计算即可得到结果．

详解：cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°．

故答案为

【点睛】

本题考查三角函数求值，考查两角和的余弦公式，属于基础题.

7．【答案】

【解析】根据切化弦，由两角差的正弦公式，即可化简出结果.

详解：原式

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查根据三角恒等变换化简所求式子，涉及二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，属于常考题型.

8．【答案】

【解析】利用同角三角函数的平方关系求得．的值，然后利用两角和的余弦公式可求得的值.

详解：因为．，则，

又，，所以，，

，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.

9．【答案】

【解析】由题意和同角三角函数基本关系可得和，进而由二倍角公式可得和，代入两角差的正弦公式计算可得．

详解：

又，，

故解得，

，

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．

10．【答案】.

【解析】根据正弦的和角公式及余弦的差角公式展开,再利用辅助角公式化简,即可由正弦函数的性质求得最大值.

【详解】

由正弦的和角公式及余弦的差角公式化简可得

所以由正弦函数的性质可知的最大值为.

故答案为:

【点睛】

本题考查了正弦的和角公式与余弦差角公式的应用,辅助角公式化简三角函数式的应用,属于基础题.

11．【答案】

【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值,再利用二倍角的三角公式求得和的值,再利用两角和的余弦公式,即可求得答案.

详解：在平面直角坐标系中,角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边过点

则

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查了任意角的三角函数的定义求得和的值和两角和的余弦公式,解题关键是掌握三角函数基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

12．【答案】

【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得或；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将化为，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为，代入即可求得结果.

详解：

解得：或

当时，

当时，

综上所述，

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换公式化简求值．正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式．二倍角公式的应用．同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.

13．【答案】

【解析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；

详解：原式，

故答案为：.

【点睛】

本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.

14．【答案】     

【解析】根据诱导公式,化简三角函数式即可求得的值.根据正弦和角公式,结合同角三角函数关系式和角的范围,求得,进而求得的值.

【详解】

由诱导公式,

所以

即

所以

由,利用正弦和角公式展开可得

即,两边同时平可得

则与异号,且

由,

所以,且

由,可知

由同角三角函数关系式代入可得

化简可得,即

解得（舍）

所以

所以

故答案为: ;

【点睛】

本题考查了诱导公式化简三角函数式求值,正弦和角公式及同角三角函数关系式的应用,注意化简过程中角的范围和三角函数的符号,属于中档题.

15．【答案】

【解析】观察角之间的特殊关系：，，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解.

详解：原式

.

故填：.

【点睛】

本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.