高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素课时训练

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【精编】1.1 构成空间几何体的基本元素-1课时练习一．填空题1．在正四棱锥内有一内接立方体，这立方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内.若棱锥底面边长为，高为，则内接立方体的棱长为________．2．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥侧面一周，再次回到点，则该质点经过的最短路程为________.3．长方体的一条对角线与它的一个顶点上的三条棱所成的角分别为，，，与过这个顶点的三个面所成的角分别为，，，则________，________．4．若{四棱柱}，{平行六面体}，{直平行六面体}，{正方体}，{正四棱柱}，{长方体}，则它们之间的包含关系为________．5．圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上的一点P出发，绕着圆锥的侧面爬行一圈，再次回到P点，则蚂蚁经过的最短路程是__________.6．边长为1的正方体中，P在线段上，Q在线段上，则的最小值为________.7．一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是____________.8．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）9．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__.10．对如图所示的几何体描述正确的是_____（填序号）. ①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.11．如图，等腰直角三角形的斜边为正四面体的侧棱，直角边绕斜边旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：①四面体的体积有最大值和最小值；②存在某个位置，使得；③设二面角的平面角为，则.正确命题的序号是______.12．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．13．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C．D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是　   　．14．在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_________________．15．一个正三棱柱形容器，以为底面成水平放置，其高为，内盛水若干，水面高度为．若将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面，则________．
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】作出图示，由相似三角形可得出线段的比，从而可解得内接立方体的棱长.详解：作出图示如下图所示，则，所以，设内接立方体的棱长为m，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查正四棱锥的内接立方体，关键在于相似三角形得出线段的比，属于中档题.2．【答案】【解析】如图，根据题意的最短路程为侧面展开图中的弦的长度，再根据几何关系计算即可得答案.详解：解：如图，根据题意得该质点经过的最短路程为侧面展开图中弦的长度.因为底面圆的周长为，母线长为，所以侧面展开图的扇形的圆心角为：，即，所以在中， ，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查空间思维能力，是中档题.3．【答案】2    1  【解析】在长方体中, 对角线，则与棱所成的角分别为,可得的值，面则,面，面所成角分别为，可得的值.详解：如图在长方体中,对角线，设, 则与棱所成的角分别为即，，分别为所以在长方体中面则,面，面所成角分别为即，，分别为所以故答案为：2；1【点睛】本题考查线线角和线面角，在空间中求角的方法有定义法和向量法，属于基础题.4．【答案】【解析】利用各种柱体的特征进行判断详解：{四棱柱}：四棱柱：底面是四边形的柱体是四棱柱{平行六面体}：平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体{直平行六面体}：直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体{长方体}：长方体：底面是长方形的直平行六面体是长方体{正四棱柱}：正四棱柱：底面是正方形的长方体是正四棱柱{正方体}：正方体：各个面都是正方形的正四棱柱根据以上概念，可得：故答案为：【点睛】本题考查各种柱体的不同特征，明确之间的包含关系，属于基础题.5．【答案】【解析】计算出圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角，利用余弦定理求得最短路程.详解：依题意，圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图对应的扇形的弧长为，所以侧面展开图对应的扇形的圆心角为，所以蚂蚁经过的最短路程是.故答案为：【点睛】本小题主要考查圆锥的展开图应用问题，考查了运算求解能力，属于中档题.6．【答案】【解析】把沿上转，与平面共面，当时，最小．详解：把沿上转，与平面共面，当时，最小，此时，，，所以的最小值为，故答案为：．【点睛】多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题．7．【答案】【解析】由长方体对角线与棱长的关系计算．详解：设长方体的长．宽．高分别为，则，解得，∴对角线长．故答案为．【点睛】本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为，则对角线长．8．【答案】②④【解析】由正方体展开图的特征可知，找准对应点和对应面即可作答．依据正方体展开图的特征，②④是正确的，故答案为②④．9．【答案】2【解析】∵平面截球所得的圆面面积为π，∴截面圆的半径为r，则πr2=π，解得r=1.∵截面与球心的距离为d=1，∴球半径R= ，直径为2故答案为210．【答案】①③④⑤【解析】根据几何体的特征并结合提供的选项进行判断.【详解】①正确，因为有六个面，属于六面体.②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确.③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.④⑤都正确，如图（1）（2）所示.故答案为：①③④⑤【点睛】本题主要考查几何体的识别，对各类几何体的主要特征熟练掌握是求解的关键，本题容易仅凭直观感觉认为该几何体是四棱台，从而误认为②正确.11．【答案】①②③【解析】由题易得点的轨迹是以线段的中点为圆心，为半径的圆，设点；所以，为圆锥的母线，对于①，，直线与平面所成的角为，可得出，进而可得出四面体的体积有最大值和最小值；对于②，可得出直线与所成角范围为，所以存在夹角为的情况，即可得出结论；对于③，取中点为，分别连接，，易得，，可得为二面角的平面角为，然后比较三角形与三角形的边长关系可得出，即可得出结论.详解：因为等腰直角三角形绕斜边旋转，所以点的轨迹是以线段的中点为圆心，为半径的圆，设点；所以，为圆锥的母线，①，直线与平面所成的角为，，，所以以为旋转轴，所以当在平面内时，达到最大值和最小值，有最大值和最小值，故①成立；    ②因为直线与旋转轴所成的夹角为，母线与旋转轴所成夹角为，所以直线与所成角范围为，即，因为，所以存在夹角为的情况，又因为线线角的取值范围不为钝角，所以直线与所成角为， 即可得出，故②成立； ③取中点为，分别连接，，易得，，所以为二面角的平面角为，比较三角形与三角形，，，，所以，所以，得，故③成立.     综上，①②③均成立.故答案为：①②③.【点睛】本题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活应用，属于常考题.12．【答案】2.【解析】先作出圆锥的轴截面，根据圆锥的母线长即为的边长，可得母线长．详解：如图所示，设等边三角形为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为的边长，且，∴，∴.故答案为.【点睛】本题考查圆锥的轴截面问题，考查空间想象能力，是基础题．13．【答案】【解析】由y＝f（x）=？？1+？？2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2？x1﹣1）＝0，所以x2？x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2？x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2？h＝πyπ？π？（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为． 14．【答案】【解析】沿棱将正三棱锥展开，作出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结果.详解：将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，由展开图可得，沿爬行时，路程最短；因为，，所以，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查棱锥侧面展开图的相关计算，熟记棱锥的结构特征即可，属于基础题型.15．【答案】【解析】采用数形结合，根据题意容器放倒后，底面面积是正三角形面积的，然后利用容器中水的体积相等，可计算得.详解：如图记的面积为,由将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面所以分别为的中点，则,故所以故答案为：【点睛】本题考查柱体体积的计算，关键在于容器内水的体积不变，使用等体积法，审清题意，细心计算，属基础题.