北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素练习题

【基础】1.1 构成空间几何体的基本元素-1优选练习

一．填空题

1．正四棱台上．下底面的边长分别为，，侧棱长为，则此棱台的侧面积为________．

2．正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为，则它的侧面积为________．

3．对如图所示的几何体描述正确的是_____（填序号）.

①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.

4．在正四棱锥内有一内接立方体，这立方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内.若棱锥底面边长为，高为，则内接立方体的棱长为________．

5．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．

6．一个正三棱柱形容器，以为底面成水平放置，其高为，内盛水若干，水面高度为．若将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面，则________．

7．已知点为棱长是的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为______．

8．在斜棱柱的所有侧面中，矩形最多有________个．

9．如图，等腰直角三角形的斜边为正四面体的侧棱，直角边绕斜边旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：

①四面体的体积有最大值和最小值；

②存在某个位置，使得；

③设二面角的平面角为，则.

正确命题的序号是______.

10．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长______尺.（注：丈等于尺）

11．长方体的一条对角线与它的一个顶点上的三条棱所成的角分别为，，，与过这个顶点的三个面所成的角分别为，，，则________，________．

12．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__.

13．直三棱柱的棱长均为，为的中点，过点的平面截三棱柱的外接球，则所得的截面面积的取值范围为______________.

14．一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，则此截面的面积为______.

15．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：

①点H与点C重合；

②点D与点M与点R重合；

③点B与点Q重合；

④点A与点S重合．

其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】作出正四棱台，则正四棱台的侧面是全等的等腰梯形，过作交于点，先求出斜高，再求出等腰梯形的面积，可得出答案.

详解：设正四棱台,则正四棱台的侧面是全等的等腰梯形.如图

在侧面中，过作交于点，

因为为等腰梯形，所以,

所以

所以侧面积为：

故答案为：

【点睛】

本题考查求正四棱台的侧面积，考查正四棱台的基本性质，属于基础题.

2．【答案】

【解析】设底面边长为，求出斜高和底面三角形的高，从而得底面积．侧面积，得出结论．

详解：如图，正三棱锥，两两垂直，设为中点，则，，

又，所以，，，

所以侧＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查棱锥的侧面积，掌握正棱锥的性质是解题关键．

3．【答案】①③④⑤

【解析】根据几何体的特征并结合提供的选项进行判断.

【详解】

①正确，因为有六个面，属于六面体.②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确.③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.④⑤都正确，如图（1）（2）所示.

故答案为：①③④⑤

【点睛】

本题主要考查几何体的识别，对各类几何体的主要特征熟练掌握是求解的关键，本题容易仅凭直观感觉认为该几何体是四棱台，从而误认为②正确.

4．【答案】

【解析】作出图示，由相似三角形可得出线段的比，从而可解得内接立方体的棱长.

详解：作出图示如下图所示，则，所以，设内接立方体的棱长为m，则，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正四棱锥的内接立方体，关键在于相似三角形得出线段的比，属于中档题.

5．【答案】

【解析】由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.

详解：如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.

过作交于点,连接

则,又，且,所以平面

则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.

在正三角形中，为中心，

由条件有，可得

在直角三角形中，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.

6．【答案】

【解析】采用数形结合，根据题意容器放倒后，底面面积是正三角形面积的，然后利用容器中水的体积相等，可计算得.

详解：如图

记的面积为,

由将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面

所以分别为的中点，则,故

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查柱体体积的计算，关键在于容器内水的体积不变，使用等体积法，审清题意，细心计算，属基础题.

7．【答案】

【解析】如图，正方体的内切球的半径，

由题意，分别取．的中点．，连接．．，

在正方体中，且，

．分别为．的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，可得，，故，

所以，．．．四点共面，

则，，，所以，，

所以，，则，，

平面，平面，，

，平面，

所以，动点的轨迹就是平面截内切球的交线，也即平面截内切球的交线，

取的中点，连接．，

且，．分别为．的中点，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，易知点为的中点，

过点在平面内作，

平面，平面，则，

，平面，，

所以，，

因为点为的中点，则到平面的距离为，截面圆的半径，

所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长．

故答案为：.

8．【答案】2

【解析】根据斜棱柱的概念直接判断即可.

详解：解：按侧棱是否与底面垂直分为斜棱柱和直棱柱.侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.直棱柱的底面的一条边最多可以与另一条边平行，当直棱柱变形为斜棱柱过程中，如果所有棱运动形成的平面与这两条边垂直时，这两条边所在的侧面是矩形.因此，斜棱柱的底面的一条边最多可以与另一条边平行，当它们与侧棱垂直时，斜棱柱的侧面最多有2个矩形.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查斜棱柱的概念，属于概念辨析，是基础题.

9．【答案】①②③

【解析】由题易得点的轨迹是以线段的中点为圆心，为半径的圆，设点；所以，为圆锥的母线，

对于①，，直线与平面所成的角为，可得出，进而可得出四面体的体积有最大值和最小值；

对于②，可得出直线与所成角范围为，所以存在夹角为的情况，即可得出结论；

对于③，取中点为，分别连接，，易得，，可得为二面角的平面角为，然后比较三角形与三角形的边长关系可得出，即可得出结论.

详解：因为等腰直角三角形绕斜边旋转，所以点的轨迹是以线段的中点为圆心，为半径的圆，设点；所以，为圆锥的母线，

①，

直线与平面所成的角为，，，

所以以为旋转轴，所以当在平面内时，达到最大值和最小值，有最大值和最小值，故①成立；

②因为直线与旋转轴所成的夹角为，母线与旋转轴所成夹角为，所以直线与所成角范围为，即，因为，所以存在夹角为的情况，又因为线线角的取值范围不为钝角，所以直线与所成角为， 即可得出，故②成立；

③取中点为，分别连接，，易得，，所以为二面角的平面角为，比较三角形与三角形，，，，所以，所以，得，故③成立.

综上，①②③均成立.

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活应用，属于常考题.

10．【答案】

【解析】根据题意知圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是三个矩形相连所成对角线的长．

【详解】

由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示：

一条直角边（即圆木的高）长尺，另一条直角边长尺，

因此葛藤长为尺.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了旋转体侧面上的最短距离计算问题，正确运用圆柱的侧面展开图是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.

11．【答案】2    1 

【解析】在长方体中, 对角线，则与棱所成的角分别为,可得的值，面则,面，面所成角分别为，可得的值.

详解：如图在长方体中,对角线，设

,

则与棱所成的角分别为

即，，分别为

所以

在长方体中面则,面，面所成角分别为

即，，分别为

所以

故答案为：2；1

【点睛】

本题考查线线角和线面角，在空间中求角的方法有定义法和向量法，属于基础题.

12．【答案】2

【解析】∵平面截球所得的圆面面积为π，

∴截面圆的半径为r，

则πr2=π，解得r=1.

∵截面与球心的距离为d=1，

∴球半径R= ，直径为2

故答案为2

13．【答案】

【解析】由题意，三棱柱的外接球球心为上下底面的外接圆的圆心的连线的中点，如图所示：

（1）当过点的平面过球心时，截得的截面圆最大，此时圆的半径即为球的半径．

设上底面的外接圆半径为，则，所以，

设三棱柱的外接球的半径为，则，即．

所以截面圆最大为，

（2）当过点的平面垂直时截面圆的面积最小，圆的半径为，

截面圆最小为．

综上，所得的截面面积的取值范围为．

故答案为：.

14．【答案】

【解析】经分析可知，截面是半圆面，半径为2，由圆的面积公式可得答案.

【详解】

过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，截面是半圆面，半径为2，

所以其面积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了球的结构特征，考查了圆的面积公式，属于基础题.

15．【答案】②④

【解析】由正方体展开图的特征可知，找准对应点和对应面即可作答．

依据正方体展开图的特征，②④是正确的，

故答案为②④．