高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素课后作业题

【优质】1.1 构成空间几何体的基本元素-1同步练习

一．填空题

1．若圆台的母线与高的夹角为，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为________．

2．若圆台的母线与高的夹角为，且上．下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.

3．若{四棱柱}，{平行六面体}，{直平行六面体}，{正方体}，{正四棱柱}，{长方体}，则它们之间的包含关系为________．

4．已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是________

5．圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上的一点P出发，绕着圆锥的侧面爬行一圈，再次回到P点，则蚂蚁经过的最短路程是__________.

6．棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为____________ .

7．一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是____________.

8．扇形的圆心角为90°，半径，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为___________.

9．有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），AB与CD所成的角的大小是_____________

10．已知四面体中,,,,为其外接球球心,与,,所成的角分别为,,.有下列结论：

①该四面体的外接球的表面积为,

②该四面体的体积为10,

③

④

其中所有正确结论的编号为___________

11．在平行六面体中，已知对角线.若空间一点使，则______.

12．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为，则这个圆台的轴截面的面积等于________.

13．将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是______．

14．给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点的连线；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．

其中说法正确的是______．

15．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】设上．下底面半径分别为．，圆台高为，化简即得解.

详解：设上．下底面半径分别为．，圆台高为，

根据轴截面可知，即，

所以．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查圆台的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

2．【答案】

【解析】详解：本题考查圆台的几何特征.

设上．下底面半径分别为，，圆台高为，根据轴截面可知，即，所以.

3．【答案】

【解析】利用各种柱体的特征进行判断

详解：{四棱柱}：四棱柱：底面是四边形的柱体是四棱柱

{平行六面体}：平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体

{直平行六面体}：直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体

{长方体}：长方体：底面是长方形的直平行六面体是长方体

{正四棱柱}：正四棱柱：底面是正方形的长方体是正四棱柱

{正方体}：正方体：各个面都是正方形的正四棱柱

根据以上概念，可得：

故答案为：

【点睛】

本题考查各种柱体的不同特征，明确之间的包含关系，属于基础题.

4．【答案】

【解析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离.

【详解】

由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上

当甲地纬度为北纬75°,乙地纬度为北纬15°,则两地间所在的大圆圆心角为60°

所以两地的球面距离为

故答案为

【点睛】

本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题.

5．【答案】

【解析】计算出圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角，利用余弦定理求得最短路程.

详解：依题意，圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图对应的扇形的弧长为，所以侧面展开图对应的扇形的圆心角为，所以蚂蚁经过的最短路程是.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查圆锥的展开图应用问题，考查了运算求解能力，属于中档题.

6．【答案】

【解析】正方体的内切球半径为3.正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，也就是说，棱长为x的正四面体的外接球半径为3.设正四面体为P－ABC，过点作PO垂直于平面ABC，垂足为O，则O为三角形ABC的中心，从而，正四面体的高为.

此时有，解得.

故答案为：．

7．【答案】

【解析】由长方体对角线与棱长的关系计算．

详解：设长方体的长．宽．高分别为，则，解得，

∴对角线长．

故答案为．

【点睛】

本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为，则对角线长．

8．【答案】

【解析】根据旋转体的概念判断出旋转所得几何体为半球，由此求得半球的表面积.

【详解】

由已知可得，以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为故半球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查旋转体的结构判断，考查半球表面积有关计算，属于基础题.

9．【答案】

【解析】详解：

法一：如图因为AB∥GH，CD∥FH，所以GH和FH所成角即为AB与CD所成的角，

又因为△GHF为等边三角形，故GH和FH所成角为，即与所成的角为．

法二：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图

可得AB与CD所成的角即为ED与CD所成角，

设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得，

由余弦定理可得，

故，

因为异面直线所成的角是锐角或直角，

所以与所成的角为．

10．【答案】①④

【解析】把四面体补成长方体,结合长方体的性质可求.

详解：解:依题意,把四面体补成长方体,如图,设长方体的长．宽．高分别为,则

,解得；

①由于四面体的外接球就是长方体的外接球,

所以球的半径

可得该四面体的外接球的表面积为,故①正确；

②该四面体的体积等于长方体的体积去掉四个三棱锥的体积,

则故②错误；

③四面体的外接球的球心是长方体体对角线的中点,所以分别等同于长方体的体对角线与所成的角,则 ,

即,故③错误；

④,,是边长为,,的三角形的三个内角,

故,故④正确

结合选项可知正确结论的编号为①④.

故答案为：①④

【点睛】

本题主要考查四面体的性质,把四面体补成长方体,使其位置关系或者度量关系更加清晰,是求解这类问题的关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养．

11．【答案】28

【解析】详解：由平行六面体的结构易知，且，则四边形为平行四边形，

设，则,，

由于，故是以为直角的直角三角形，

故，

在中，为边的中点，在和中分别应用余弦定理可得：

，，

据此可得：.

12．【答案】

【解析】根据题意求出圆台的上．下底面半径，再计算轴截面的面积．

【详解】

解：设圆台的下底面半径为R，上底面半径为r；

由2πR＝3？2πr，得R＝3r；

由圆台的高为h，母线与轴的夹角为30°，如图所示；

则tan30°，即，

解得r＝1，所以R＝3r＝3；

所以圆台的轴截面的面积为

S轴截面（2+6）×28（cm2）．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查圆台的性质，圆台的轴截面，属于基础题.

13．【答案】

【解析】函数的图象是圆，，是半径为1的下半圆，将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，由此能求出结果．

【详解】

解：函数的图象是圆，，是半径为1的下半圆，

将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，

将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是：

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查几何容器的容积的求法，考查旋转体的性质．球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

14．【答案】①③④

【解析】根据球的定义和特点去分析各个选项.

【详解】

根据球的定义直接判断①正确；②错误：连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆：可以是小圆，也可能是大圆，正确；④球常用表示球心的字母表示，满足球的定义，正确.

【点睛】

本题考查球的相关概念，难度较易.判断球的相关概念时，如果不是很清楚，可参考圆的相关概念，两者作比较.

15．【答案】2.

【解析】先作出圆锥的轴截面，根据圆锥的母线长即为的边长，可得母线长．

详解：

如图所示，设等边三角形为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为的边长，且，∴，∴.

故答案为.

【点睛】

本题考查圆锥的轴截面问题，考查空间想象能力，是基础题．