北师大版 (2019)必修 第二册2.1 两角和与差的余弦公式及其应用随堂练习题

【精编】2.1 两角和与差的余弦公式及其应用-1课时练习

一．填空题

1．________．

2．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，．则的面积为___________．

3．

设为锐角，若，则______.

4．设为锐角，若，则______．

5．在中，角？？所对的边分别为？？，若，且，则的形状是___________.

6．

若，则的值为_______________.

7．平面直角坐标系xOy中，点P（4，﹣3）是α终边上的一点，则＝　　．

8．观察下列几个三角恒等式：

①；

②；

③；

④；

一般地，若．．都有意义，你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为___________.

9．如图，的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，，若点D在线段上，且，则__________．

10．已知均为锐角，且，若，则________.

11．

已知，，则______.

12．

已知，，则___________.

13．已知角顶点为原点，始边与轴非负轴重合，点在终边上，则___________.

14．

________.

15．

已知角在第四象限，且，则的值是______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：利用诱导公式得出，，利用两角和的正弦公式可求得结果.

详解：，，

所以，

.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】分析：由正弦定理的边角关系，结合两角和正弦公式得，根据三角形内角的性质求角，再由余弦定理求，利用三角形面积公式求的面积.

详解：由正弦定理，有：，即，

∵，，

∴，即，

又，，即，

∴，解得，，

故.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：由已知三角恒等关系，应用正余弦定理解三角形，由三角形的面积公式求面积即可.

3．【答案】

【解析】

因为为锐角，所以，

则，，

所以.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】因为为锐角，由，得，

．

故答案为：.

5．【答案】等边三角形

【解析】分析：由已知并结合余弦定理得，再结合得，进而得，故，所以的形状是等边三角形.

详解：，由于，故.

由于，

∴

.

∴ ，利用正弦定理得，

所以，故，

所以为等边三角形.

故答案为; 等边三角形.

【点睛】

本题考查余弦定理，三角恒等变换，正弦定理边角互化，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据利用化简整理得，进而由边角互化的.

6．【答案】

【解析】

由，得，

两边同时平方得，

所以.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】由题意得cosα＝，sinα＝﹣，所以cos2α＝2cos2α﹣1＝，sin2α＝2sinαcosα＝﹣，则＝＝＝．

8．【答案】当时，

【解析】分析：观察①②③④中等式的结构，可得出结论.

详解：对于①式，；对于②式，；

对于③式，；对于④式，.

观察①②③④中等式的结构，可得出以下结论：

当时，.

理由如下：

①当且时，

若．．都有意义时，由两角和的正切公式可得，

所以，，

，

因此，

；

②若且时，则，

可得，此时，.

综上所述，当且．．都有意义，则.

故答案为：当时，.

【点睛】

方法点睛：若化简的式子中出现了及两个整体，常考虑的变形公式，两角和的正切公式的常见四种变形如下：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

9．【答案】

【解析】分析：根据得到，进一步根据正弦定理得到，利用求出，从而求出，进一步求出答案.

详解：∵

∴且B为钝角，

根据正弦定理得到：

∴即

又∵B为钝角，所以为锐角且

∴

∴

∴.

故答案为：.

【点睛】

在解决本题时要利用一个隐形的条件就是根据，判断出B为钝角，以及.

10．【答案】5

【解析】分析：由题设条件化简得到2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，进而得sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，结合基本关系式，即可求解.

详解：由，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]

所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]

从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】

…①，

…②，

①②得：，解得：；

①②得：，解得：

.

故答案为：.

12．【答案】-7

【解析】

因为，，

所以，

两式相加得：，

两式相减得：，

所以，

故答案为：-7

13．【答案】

【解析】分析：利用三角函数的定义得：，再利用两角差的余弦公式，即可得到答案；

详解：由三角函数的定义可得：，

，

故答案为：.

14．【答案】

【解析】

，

.

故答案为

15．【答案】

【解析】

在第四象限，，，

由，得，与联立，

可得，．

．

故答案为．