北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素达标测试

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素达标测试，共16页。
【优选】1.1 构成空间几何体的基本元素-1作业练习一．填空题1．已知某圆锥体的底面半径为，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为的扇形，则该圆锥体的母线长是______．2．在棱长为3的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积为______．3．边长为1的正方体中，P在线段上，Q在线段上，则的最小值为________.4．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥侧面一周，再次回到点，则该质点经过的最短路程为________.5．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C．D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是　   　．6．在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_________________．7．在棱长为1的正方体中，，在面中取一个点F，使最小，则这个最小值为______.8．半径为R的两个球,其中一个球的球心在另一个球的球面上,则两球的交线长为_____.9．已知四面体的各棱长都为4，点是线段的中点，若球是四面体的外接球，过点作球的截面，则所得截面圆的面积取值范围是______.10．一圆锥底面半径为2，母线长为6，将此圆锥沿一条母线展开，得到的扇形的面积为______.11．若{四棱柱}，{平行六面体}，{直平行六面体}，{正方体}，{正四棱柱}，{长方体}，则它们之间的包含关系为________．12．已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是________    
13．棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为____________ .14．直三棱柱的棱长均为，为的中点，过点的平面截三棱柱的外接球，则所得的截面面积的取值范围为______________.15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长______尺.（注：丈等于尺）
参考答案与试题解析1．【答案】9【解析】设圆锥体的母线长为R，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出R的值．【详解】解：某圆锥体的底面半径为，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为的扇形，设圆锥体的母线长为R，则，解得，圆锥体的母线长为9.故答案为：9.【点睛】本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题．2．【答案】【解析】由题可知，可得投影为五边形，利用三角形相似性质得到，，进而求得，，则可得.详解：解：直线分别与直线，交于，两点，连接，，分别与棱，交于，两点，连接，，得到截面五边形，向平面作投影，得到五边形，由点，分别是棱，的中点，则，所以在中，，由，则，即：，而，可得，同理，则，，则.故答案为：．【点睛】本题考查正方体截面投影面积的求法，以及利用三角形相似求出线段长，考查数形结合思想，属于中档题．3．【答案】【解析】把沿上转，与平面共面，当时，最小．详解：把沿上转，与平面共面，当时，最小，此时，，，所以的最小值为，故答案为：．【点睛】多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题．4．【答案】【解析】如图，根据题意的最短路程为侧面展开图中的弦的长度，再根据几何关系计算即可得答案.详解：解：如图，根据题意得该质点经过的最短路程为侧面展开图中弦的长度.因为底面圆的周长为，母线长为，所以侧面展开图的扇形的圆心角为：，即，所以在中， ，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查空间思维能力，是中档题.5．【答案】【解析】由y＝f（x）=？？1+？？2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2？x1﹣1）＝0，所以x2？x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2？x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2？h＝πyπ？π？（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为． 6．【答案】【解析】沿棱将正三棱锥展开，作出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结果.详解：将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，由展开图可得，沿爬行时，路程最短；因为，，所以，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查棱锥侧面展开图的相关计算，熟记棱锥的结构特征即可，属于基础题型.7．【答案】【解析】将正方体补全成长方体，点关于面的对称点为，连接交平面于点F，使最小，其最小值就是，再连接，，然后在中计算即可.详解：将正方体补全成长方体，点关于面的对称点为，连接交平面于一点，即为所求点F，使最小，其最小值就是，连接，，计算可得，，，所以为直角三角形，又，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查空间想象能力和逻辑思维能力，考查计算能力，属于常考题.8．【答案】【解析】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,容易求得的长为.从而求得其周长即可.【详解】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,如图所示:由题意得,，故.所以两球交线所在圆面的半径为,所以所求的交线长为.故答案为:【点睛】本题考查球与球的位置关系和圆的周长公式;重点考查学生的空间想象能力;把空间立体几何中球的问题转化为平面几何中圆的问题是求解本题的关键;属于难度大型试题.9．【答案】【解析】先求得外接球的半径，然后根据球的截面计算出最小的截面圆和最大的截面圆的面积，由此求得截面圆的面积取值范围.【详解】设等边三角形的外心为，正四面体外接球的球心为，高为.设球的半径为，由得，.过和作出球的截面图，是球的直径，，最小的截面圆圆心为，半径为，面积为.最大的截面圆圆心为，半径为，面积为.故截面圆的面积取值范围是.故填：.【点睛】本小题主要考查正四面体外接球半径的计算，考查过球内一点球的截面面积的取值范围的求法，考查空间想象能力，考查运算求解能力，属于中档题.10．【答案】【解析】根据圆的周长公式可得扇形的弧长，根据扇形的面积公式可得结果.【详解】因为圆锥的底面半径为2，所以底面圆的周长为，故将此圆锥沿一条母线展开，所得扇形的面积为.故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，考查了扇形的面积公式，属于基础题.11．【答案】【解析】利用各种柱体的特征进行判断详解：{四棱柱}：四棱柱：底面是四边形的柱体是四棱柱{平行六面体}：平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体{直平行六面体}：直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体{长方体}：长方体：底面是长方形的直平行六面体是长方体{正四棱柱}：正四棱柱：底面是正方形的长方体是正四棱柱{正方体}：正方体：各个面都是正方形的正四棱柱根据以上概念，可得：故答案为：【点睛】本题考查各种柱体的不同特征，明确之间的包含关系，属于基础题.12．【答案】【解析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离.【详解】由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上当甲地纬度为北纬75°,乙地纬度为北纬15°,则两地间所在的大圆圆心角为60°所以两地的球面距离为故答案为【点睛】本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题. 13．【答案】【解析】正方体的内切球半径为3.正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，也就是说，棱长为x的正四面体的外接球半径为3.设正四面体为P－ABC，过点作PO垂直于平面ABC，垂足为O，则O为三角形ABC的中心，从而，正四面体的高为.此时有，解得.故答案为：．14．【答案】【解析】由题意，三棱柱的外接球球心为上下底面的外接圆的圆心的连线的中点，如图所示：（1）当过点的平面过球心时，截得的截面圆最大，此时圆的半径即为球的半径．设上底面的外接圆半径为，则，所以，设三棱柱的外接球的半径为，则，即．所以截面圆最大为，（2）当过点的平面垂直时截面圆的面积最小，圆的半径为，截面圆最小为．综上，所得的截面面积的取值范围为．故答案为：.15．【答案】【解析】根据题意知圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是三个矩形相连所成对角线的长．【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示：一条直角边（即圆木的高）长尺，另一条直角边长尺，因此葛藤长为尺.故答案为：.【点睛】本题考查了旋转体侧面上的最短距离计算问题，正确运用圆柱的侧面展开图是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.