北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素测试题

【基础】1.1 构成空间几何体的基本元素-1课时练习

一．填空题

1．长方体的一条对角线与它的一个顶点上的三条棱所成的角分别为，，，与过这个顶点的三个面所成的角分别为，，，则________，________．

2．如图，等腰直角三角形的斜边为正四面体的侧棱，直角边绕斜边旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：

①四面体的体积有最大值和最小值；

②存在某个位置，使得；

③设二面角的平面角为，则.

正确命题的序号是______.

3．若圆台的母线与高的夹角为，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为________．

4．一个正三棱柱形容器，以为底面成水平放置，其高为，内盛水若干，水面高度为．若将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面，则________．

5．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__.

6．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：

①点H与点C重合；

②点D与点M与点R重合；

③点B与点Q重合；

④点A与点S重合．

其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

7．在正四棱锥内有一内接立方体，这立方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内.若棱锥底面边长为，高为，则内接立方体的棱长为________．

8．已知点为棱长是的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为______．

9．一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是____________.

10．对如图所示的几何体描述正确的是_____（填序号）.

①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.

11．圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上的一点P出发，绕着圆锥的侧面爬行一圈，再次回到P点，则蚂蚁经过的最短路程是__________.

12．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为，则这个圆台的轴截面的面积等于________.

13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．

14．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．

15．扇形的圆心角为90°，半径，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】2    1 

【解析】在长方体中, 对角线，则与棱所成的角分别为,可得的值，面则,面，面所成角分别为，可得的值.

详解：如图在长方体中,对角线，设

,

则与棱所成的角分别为

即，，分别为

所以

在长方体中面则,面，面所成角分别为

即，，分别为

所以

故答案为：2；1

【点睛】

本题考查线线角和线面角，在空间中求角的方法有定义法和向量法，属于基础题.

2．【答案】①②③

【解析】由题易得点的轨迹是以线段的中点为圆心，为半径的圆，设点；所以，为圆锥的母线，

对于①，，直线与平面所成的角为，可得出，进而可得出四面体的体积有最大值和最小值；

对于②，可得出直线与所成角范围为，所以存在夹角为的情况，即可得出结论；

对于③，取中点为，分别连接，，易得，，可得为二面角的平面角为，然后比较三角形与三角形的边长关系可得出，即可得出结论.

详解：因为等腰直角三角形绕斜边旋转，所以点的轨迹是以线段的中点为圆心，为半径的圆，设点；所以，为圆锥的母线，

①，

直线与平面所成的角为，，，

所以以为旋转轴，所以当在平面内时，达到最大值和最小值，有最大值和最小值，故①成立；

②因为直线与旋转轴所成的夹角为，母线与旋转轴所成夹角为，所以直线与所成角范围为，即，因为，所以存在夹角为的情况，又因为线线角的取值范围不为钝角，所以直线与所成角为， 即可得出，故②成立；

③取中点为，分别连接，，易得，，所以为二面角的平面角为，比较三角形与三角形，，，，所以，所以，得，故③成立.

综上，①②③均成立.

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活应用，属于常考题.

3．【答案】

【解析】设上．下底面半径分别为．，圆台高为，化简即得解.

详解：设上．下底面半径分别为．，圆台高为，

根据轴截面可知，即，

所以．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查圆台的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

4．【答案】

【解析】采用数形结合，根据题意容器放倒后，底面面积是正三角形面积的，然后利用容器中水的体积相等，可计算得.

详解：如图

记的面积为,

由将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面

所以分别为的中点，则,故

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查柱体体积的计算，关键在于容器内水的体积不变，使用等体积法，审清题意，细心计算，属基础题.

5．【答案】2

【解析】∵平面截球所得的圆面面积为π，

∴截面圆的半径为r，

则πr2=π，解得r=1.

∵截面与球心的距离为d=1，

∴球半径R= ，直径为2

故答案为2

6．【答案】②④

【解析】由正方体展开图的特征可知，找准对应点和对应面即可作答．

依据正方体展开图的特征，②④是正确的，

故答案为②④．

7．【答案】

【解析】作出图示，由相似三角形可得出线段的比，从而可解得内接立方体的棱长.

详解：作出图示如下图所示，则，所以，设内接立方体的棱长为m，则，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正四棱锥的内接立方体，关键在于相似三角形得出线段的比，属于中档题.

8．【答案】

【解析】如图，正方体的内切球的半径，

由题意，分别取．的中点．，连接．．，

在正方体中，且，

．分别为．的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，可得，，故，

所以，．．．四点共面，

则，，，所以，，

所以，，则，，

平面，平面，，

，平面，

所以，动点的轨迹就是平面截内切球的交线，也即平面截内切球的交线，

取的中点，连接．，

且，．分别为．的中点，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，易知点为的中点，

过点在平面内作，

平面，平面，则，

，平面，，

所以，，

因为点为的中点，则到平面的距离为，截面圆的半径，

所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长．

故答案为：.

9．【答案】

【解析】由长方体对角线与棱长的关系计算．

详解：设长方体的长．宽．高分别为，则，解得，

∴对角线长．

故答案为．

【点睛】

本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为，则对角线长．

10．【答案】①③④⑤

【解析】根据几何体的特征并结合提供的选项进行判断.

【详解】

①正确，因为有六个面，属于六面体.②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确.③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.④⑤都正确，如图（1）（2）所示.

故答案为：①③④⑤

【点睛】

本题主要考查几何体的识别，对各类几何体的主要特征熟练掌握是求解的关键，本题容易仅凭直观感觉认为该几何体是四棱台，从而误认为②正确.

11．【答案】

【解析】计算出圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角，利用余弦定理求得最短路程.

详解：依题意，圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图对应的扇形的弧长为，所以侧面展开图对应的扇形的圆心角为，所以蚂蚁经过的最短路程是.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查圆锥的展开图应用问题，考查了运算求解能力，属于中档题.

12．【答案】

【解析】根据题意求出圆台的上．下底面半径，再计算轴截面的面积．

【详解】

解：设圆台的下底面半径为R，上底面半径为r；

由2πR＝3？2πr，得R＝3r；

由圆台的高为h，母线与轴的夹角为30°，如图所示；

则tan30°，即，

解得r＝1，所以R＝3r＝3；

所以圆台的轴截面的面积为

S轴截面（2+6）×28（cm2）．

故答案为：8．

【点睛】

本题考查圆台的性质，圆台的轴截面，属于基础题.

13．【答案】2.

【解析】先作出圆锥的轴截面，根据圆锥的母线长即为的边长，可得母线长．

详解：

如图所示，设等边三角形为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为的边长，且，∴，∴.

故答案为.

【点睛】

本题考查圆锥的轴截面问题，考查空间想象能力，是基础题．

14．【答案】

【解析】由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.

详解：如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.

过作交于点,连接

则,又，且,所以平面

则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.

在正三角形中，为中心，

由条件有，可得

在直角三角形中，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.

15．【答案】

【解析】根据旋转体的概念判断出旋转所得几何体为半球，由此求得半球的表面积.

【详解】

由已知可得，以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为故半球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查旋转体的结构判断，考查半球表面积有关计算，属于基础题.