高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用3 从速度的倍数到向量的数乘3.2 向量的数乘与向量共线的关系课时作业

3.2　向量的数乘与向量共线的关系

课后训练巩固提升

1.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为(　　).

A.-1或3 B.

C.-1或4 D.3或4

解析:因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,且向量a,b是两个不共线的向量,

所以m=,

解得m=-1或m=3.

答案:A

2.在△ABC中,已知D是AB边上的一点,若+λ,则λ等于(　　).

A. B. 

C. D.

解析:∵A,B,D三点共线,

∴+λ=1,λ=.

答案:B

3.已知△ABC,点P满足=2,则(　　).

A.点P不在直线BC上

B.点P在CB的延长线上

C.点P在线段BC上

D.点P在BC的延长线上

解析:因为=2,得,

所以,

所以B,P,C三点共线,且点P在CB的延长线上,故选B.

答案:B

4.(多选题)已知4-3,则下列结论正确的是(　　).

A.A,B,C,D四点共线

B.C,B,D三点共线

C.||=||

D.||=3||

解析:因为4-3,

所以3-3,

所以3,

因为有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||,所以BD正确,A错误,

由4-3,得=3-3=3,

所以||≠||,

所以C错误,故选BD.

答案:BD

5.已知△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的(　　).

A.垂心 B.内心 

C.外心 D.重心

解析:设D为BC的中点,则=2,故=2λ,即点P在中线AD上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.

答案:D

6.在△OAB中,P为线段AB上的一点,4=3,且=λ,则(　　).

A.λ=2 B.λ=3 

C.λ=4 D.λ=5

解析:因为4=3,所以3-3,

所以3,3.所以=4.

答案:C

7.设A,B,C是平面内共线的三个不同的点,点O是A,B,C所在直线外任意一点,且满足=x+y,若点C在线段AB的延长线上,则(　　).

A.x<0,y>1 B.y<0,x>1

C.0<x<y<1 D.0<y<x<1

解析:由题可得x+y=1,所以=x+y可化为=x+(1-x),

整理得=x(),即=x.

因为点C在线段AB的延长线上,所以反向,所以x<0,y=1-x>1.

答案:A

8.已知点P在△ABC所在平面上,且满足=2,则等于(　　).

A. B. C. D.

解析:因为=2=2(),所以3,所以共线,且3||=||,所以.

答案:B

9.过△ABC的重心任作一直线分别交边AB,AC于点D,E.若=x=y,xy≠0,则等于(　　).

A.4 B.3 C.2 D.1

解析:设重心为O,因为重心分中线的比为2∶1,所以有=3.

由于,则,

又因为O,D,E三点共线,所以=1.

答案:D

10.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　　　. 

解析:∵-3+2=0,

∴=2(),

∴=2,

∴=2.

答案:2

11.已知两个不共线向量e1,e2,且=e1+λe2,=3e1+4e2,=2e1-7e2,若A,B,D三点共线,则λ=　　　　　. 

解析:由=3e1+4e2,=2e1-7e2,得=5e1-3e2.

因为=e1+λe2,且A,B,D三点共线,

所以存在实数μ,使得=μ,

即e1+λe2=μ(5e1-3e2),

又e1,e2不共线,

所以

解得λ=-.

答案:-

12.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.

(第12题)

(1)用a,b分别表示向量;

(2)求证:B,E,F三点共线.

(1)解连接BE,BF.∵)=(a+b),∴(a+b).

∵b,

∴=-a+b.

(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+b=,

故.

又有公共点B,得B,E,F三点共线.