高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用同步达标检测题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用同步达标检测题，共6页。
2.3　三角函数的叠加及其应用课后训练巩固提升1.化简cos x-sin x的结果是(　　).A.2cos  B.2sinC.2sin  D.2cos解析:原式=2=2=2cos.答案:D2.已知sin α+cos α=,则sin的值为(　　).A.- B. C.- D.解析:∵sinα+cosα=sin,∴sin=sin=-sin=-.答案:C3.(多选题)设函数f(x)=sin+cos,则(　　).A.f(x)为偶函数B.f(x)在区间上单调递增C.f(x)的最大值为2D.f(x)的图象关于点对称解析:因为f(x)=sin=cos2x,所以f(x)为偶函数,故A正确.当x∈时,2x∈(0,π),所以f(x)在区间上单调递减,故B错误.f(x)的最大值为,故C错误.当x=时,f=0,所以f(x)的图象关于点对称,故D正确.答案:AD4.已知A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),若=-1,则sin等于(　　).A. B. C. D.解析:=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),则=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=1-3(cosα+sinα)=1-3=1-3=1-3sin=-1,∴sin.答案:B5.化简:sincos=　　　　　　　　　　. 解析:sincos==×2==sinsin.答案:sin6.函数f(x)=sin(2x+φ)-2cos(2x+φ)0≤φ≤的图象关于直线x=对称,则sin φ=　　　　　. 解析:∵f(x)=sin(2x+φ)-2cos(2x+φ)=sin(2x+φ-θ),且f(x)的图象关于直线x=对称,∴2×+φ-θ=+kπ,k∈Z,则φ=kπ+θ(k∈Z),∴sinφ=sin(kπ+θ)(k∈Z).当k为偶数时,sinφ=sinθ=;当k为奇数时,sinφ=-sinθ=-.又∵0≤φ≤,∴0≤sinφ≤1.故sinφ=.答案:7.设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=　　　　　. 解析:sinx+cosx=2=2sin=a,在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2sin,x∈[0,2π]与y=a的图象(图略),可知当a=时,直线y=a与函数y=2sin,x∈[0,2π]的图象恰有三个交点,即方程sinx+cosx=a在x∈[0,2π]上恰有三个解.令sin,得x+=2kπ+(k∈Z)或x+=2kπ+(k∈Z),即x=2kπ(k∈Z)或x=2kπ+(k∈Z),∴0,,2π为符合条件的三个解,故x1+x2+x3=.答案:8.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,则当x∈时函数f(x)的一个零点是　　　　　. 解析:∵f(x)=sinωx+cosωx=2sin,且f(x)的最小正周期为π,得ω=2,∴f(x)=2sin.由f(x)=0,即2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,∴x=-,k∈Z.∵x∈,∴x=.∴当x∈时函数f(x)的一个零点是.答案:9.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=10米,记∠BHE=θ.(第9题)(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域.(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.解:(1)由题意可得EH=,FH=,且θ为锐角,故EF=.∵BE=10tanθ≤10,AF=≤10,∴≤tanθ≤.∴θ∈.∴L=,θ∈,即L=10×,θ∈.(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=.∵θ∈,∴t=sinθ+cosθ=sin.∴L=.∵L=在区间上单调递减,∴当t=,即θ=或θ=时,L取得最大值为20(+1)米.