北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系课时训练

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系

1.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),直线AB,AC平行于平面α,则平面α的一个法向量是(　　).

A.(1,1,-1) B.(1,-1,1)

C.(-1,1,1) D.(-1,-1,-1)

解析:=(-1,1,0),=(-1,0,1).

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),

则有

取x=-1,得y=-1,z=-1.

故平面ABC的一个法向量是(-1,-1,-1).

答案:D

2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　).

(第2题)

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

解析:如答图,以C1B1,C1D1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),D1(0,a,0),∴Ma,,N,a.

(第2题答图)

∴=-,0,,易知=(0,a,0)是平面BB1C1C的一个法向量,而=-×0+0×a+×0=0,

∴,且MN⊄平面BB1C1C,

∴MN∥平面BB1C1C.

答案:B

3.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD等于(　　).

(第3题)

A.1∶2

B.1∶1

C.3∶1

D.2∶1

解析:如答图,建立空间直角坐标系A-xyz.

(第3题答图)

设正方形的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,1,0,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),

则=(-1,y,0),=,1,-a.

因为BF⊥PE,所以=0,解得y=,即点F的坐标为0,,0,所以当F为AD的中点时,BF⊥PE,此时AF∶FD=1∶1.

答案:B

4.在如图的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论:

(第4题)

①平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);

②平面B1CD的一个法向量为(1,1,1);

③平面B1CD1与方向向量为(1,1,1)的直线垂直;

④平面ABC1D1与方向向量为(0,1,1)的直线垂直.

其中正确的个数为(　　).

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:∵=(0,1,0),AB⊥AD,AA1⊥AD,AB∩AA1=A,∴AD⊥平面ABB1A1,故①正确;

∵=(-1,0,0),而(1,1,1)·=-1≠0,

∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量,故②不正确;

∵=(0,1,-1),=(-1,0,1),(1,1,1)·(0,1,-1)=0,(1,1,1)·(-1,0,1)=0,且B1C∩CD1=C,

∴以(1,1,1)为方向向量的直线垂直于平面B1CD1,故③正确;

∵=(0,1,1),而·(0,1,1)=2≠0,∴以(0,1,1)为方向向量的直线不垂直于平面ABC1D1,故④不正确.

因此正确结论的个数为2,故选B.

答案:B

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在对角线A1D上取点M,在CD1上取点N,使得线段MN平行于对角面A1ACC1,则线段MN的长度的最小值为　　　　　. 

解析:如答图,作MM1⊥AD,垂足为点M1,作NN1⊥CD,垂足为点N1,

(第5题答图)

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,根据面面垂直的性质定理,可得MM1,NN1都垂直于平面ABCD,由线面垂直的性质定理,可知MM1∥NN1,易知平面M1N1NM∥平面ACC1A1,由面面平行的性质定理可知,M1N1∥AC,设DM1=DN1=x,则0<x<1.

在直角梯形MM1N1N中,MN2=(x)2+(1-2x)2=6x-2+,当x=时,MN取得最小值为.

答案:

6.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和点Q(cos x,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为　　　　　. 

解析:由OP⊥OQ,得=0,

即(2cosx+1)cosx+(2cos2x+2)×(-1)=0.

∴cosx=0或cosx=.

∵x∈[0,π],∴x=或x=.

答案:

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E为PC的中点,EF⊥BP于点F.用向量法求证:

(第7题)

(1)PA∥平面EDB;

(2)PB⊥平面EFD.

证明:以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,如答图,设DC=PD=1,

(第7题答图)

则P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E0,,

∴=(1,1,-1),=0,,=1,,-.

(1)设n1=(x1,y1,z1)为平面EDB的法向量,则n1⊥,n1⊥.

∴

取z1=-1,则n1=(-1,1,-1)为平面EDB的一个法向量.

∵=(1,0,-1),∴·n1=0.∴⊥n1.

又PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB.

(2)设F(x,y,z),

则=(x,y,z-1),=x,y-,z-.

∵EF⊥BP,∴.

∴x+y--z-=0,即x+y-z=0.①

且存在唯一的实数λ,使得=λ,

即x=λ,y=λ,z-1=-λ.②

由①②可得x=,y=,z=,

∴=,-.

设n2=(x2,y2,z2)为平面EFD的法向量,

则n2⊥,n2⊥,

∴

∴取z2=1,则n2=(-1,-1,1)为平面EFD的一个法向量.

∵=-n2,∴∥n2,∴PB⊥平面EFD.