高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理同步测试题

【优编】6.1 余弦定理与正弦定理-2随堂练习

一．填空题

1．

设向量和是夹角为的两个单位向量，则         ．

2．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．

3．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为       ．

4．

已知点为内一点，且，则的面积之比等于_______．

5．

已知向量是单位向量，向量，若，则的夹角为___________.

6．

 表示“向东走”，表示“向北走”，则____________，的方向是______________.

7．向量，满足||=1，||=，（ +）⊥（2﹣），则向量与的夹角为　    　．

8．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：

①＋＝2；    ②＝2＋2；

③·＝·； ④(·)·＝·(·)．

其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

9．已知△ABD是等边三角形，且＋＝，||＝，那么四边形ABCD的面积为________．

10．

已知向量与的夹角为，，，则                 .

11．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·等于________．

12．

已知，，的夹角为60°，则          ．

13．

已知单向量位的夹角为，且，若向量 ，则__________.

14．

已知向量，满足，，且（），则          ．

15．

设，向量，且，则__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

试题分析：

考点：向量的模

【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

2．【答案】3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)

【解析】∵α＋β＝1，∴β＝1－α，

又∵＝α＋β＝α＋(1－α) ，

∴－＝α(－)，∴∥，

又B与有公共点B，∴A．B．C三点共线，

∵0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，

∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．

3．【答案】3

【解析】设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由1≤λ≤2．0≤μ≤1得到关于x．y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．

解：设P的坐标为（x，y），则

=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，

∴，解之得

∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组

作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部

其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）

∵|CF|==，

点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==

∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3

故答案为：3

考点：向量在几何中的应用．

4．【答案】

【解析】

试题分析:因为,,则,所以,故应填答案.

考点：向量的几何运算及综合运用．

【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查平面向量的几何形式的运算和向量的数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量的加法的几何形式运算,确定三角形顶点的位置,并充分利用这一隐含信息搞清,,则,从而使得问题巧妙获解.

5．【答案】

【解析】

试题分析：设的夹角为，因为向量是单位向量，所以，，所以，解之得，所以.

考点：1.向量数量积的定义；2.向量的坐标运算.

6．【答案】     东北方向

【解析】

试题分析：因为表示“向东走”，表示“向北走”，那么根据向量加法的运算法则可知，；而向量的方向是北偏东，也就是东北方向，故答案填,东北方向.

考点：1．向量的加法；2．向量的模.

【方法点晴】本题是一个关于向量加法的简单实际应用问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是，首先要理解平面向量的加法的几何意义，向量的求和，既要求大小的和，又要求方向的和.由于表示“向东走”，表示“向北走”，所以向量的大小应该是，而向量的方向是北偏东，也就是东北方向.

7．【答案】90°

【解析】解：因为||=1，||=，（ +）⊥（2﹣），

所以（+）？（2﹣）=2+﹣=0，

则2+﹣2=0，即=0，

所以，则向量与的夹角为90°，

故答案为：90°．

8．【答案】①②④

【解析】如图．

∵＋＝＋＋，

依平行四边形法则，

＋＝＝，

∴＋＝2，命题①正确．

∵＋＝，∴＝2＋2，命题②正确．

∵(－)·＝·＝2||2≠0，

∴·－·≠0，故命题③不正确．

∵(·)·＝(－2·)·

＝－2(·)·

＝(·)·

＝(·)·，

∴命题④正确．故答案为①②④.

9．【答案】

【解析】如图所示，＝－＝－，∴＝2，

即3＝ ＋－·，

∵||＝||，

∴||2－||||cos 60°＝3，∴||＝2．

又＝－＝A，∴||＝||＝1，

∴||2＋||2＝||2，∴BC⊥CD.

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×22×sin 60°＋×1×＝ .

10．【答案】4

【解析】

试题分析：向量与的夹角为， ，则， .所以，则 （舍去）或.

考点：平面向量的数量积.

11．【答案】

【解析】·＝·(－)＝·－·，

因为OA＝OB，所以在上的投影为||.

所以·＝||·||＝2，

同理·＝||·||＝，

故·＝－2＝.

12．【答案】

【解析】

试题分析:因,故,故应填答案.

考点：向量的数量积公式及模的计算方法的运用．

13．【答案】

【解析】

试题分析:因.故,应填答案.

考点：向量的模及向量的数量积公式的综合运用．

【易错点晴】向量的概念及运算是高中数学中的重要内容之一,也是高考常考重要知识和考点之一.本题以单位向量夹角的余弦值为背景考查的是等价转化的数学思想等有关知识和运算求解能力.解答时充分依据题设条件，将两边平方,将问题等价转化为求向量,进而运用向量的代数形式的乘法进行运算,求得，然后求得使得问题获解.

14．【答案】

【解析】

试题分析：设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．

考点：向量的坐标运算．

15．【答案】

【解析】

试题分析：

.

考点：向量的基本运算.

【方法点晴】本题考查向量的基本运算，涉及方程思想．数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力．等价转化能力．运算求解能力，综合性较强，属于中等难题.首先通过平行与共线建立方程，分别求出向量，再利用模长公式求出，具体为：

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