高中北师大版 (2019)6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例当堂达标检测题

【优编】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-1课堂练习

一．填空题

1．已知AB为单位圆的一条弦,P为单位圆上的点,若的最小值为,当点P在单位圆上运动时,的最大值为,则线段AB的长度为________.

2．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，点P满足 ，则____________.

3．在等腰直角中，，，M是斜边BC上的点，满足，若点P满足，则的取值范围为______．

4．设为平面向量，，若，则的最大值为______．

5．已知,点为曲线上一个动点,为原点,则 的取值范围是_____．

6．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走的路程最短，小船应朝与水流方向成__________度角的方向行驶．

7．已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.

8．在直角中，，为边的中点，为线段上一动点，且满足，则的取值范围为_______________.

9．A．B是直线上的两个动点，且，点（其中），则的最小值等于___________.

10．一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是__________（精确到）．

11．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则的值为__．

12．正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为__________．

13．在中，若，则的值为____________.

14．已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．

15．已知点O为△ABC内一点，+2+3=，则 =_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】设,把化简为,考虑的几何意义，即的最小值就是点到直线的距离，由此可得结论.

【详解】

设,则,

因为，所以点在直线上，所以的最小值就是点到直线的距离.

因为的最大值为，所以圆心到直线的距离为，所以，故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面向量的应用，明确的几何意义及取到最值时的临界状态是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

2．【答案】1:6

【解析】由题意首先利用几何关系确定点P的位置，然后利用三角形的性质即可确定的值.

【详解】

设AB的中点是E,

∵O是三角形ABC的重心,动点P满足，

，

，，

∴P在AB边的中线上，是中线上靠近点C的三等分点，

则，

故.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．【答案】

【解析】依题意，建立平面直角坐标，求出各点的坐标，可得，进而得解．

【详解】

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，

建立如图所示平面直角坐标，

由可得，点P在圆上，

设，易知，，

由可得，，

则，

则，

由正弦函数的有界性可知，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查平面向量的运用，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，通过坐标化解决问题是关键，属于基础题．

4．【答案】

【解析】

建立直角坐标系，，

不妨设的起点均为坐标原点，终点分别为，

设点的坐标为，

则，

即，

故可得.

则终点的轨迹是以，半径为的圆上运动.

故点的纵坐标的最大值为.

又.

故答案为：.

5．【答案】

【解析】由题意知,且,则,即可得出,得出 的取值范围.

详解：解:因为点为曲线上一个动点,

所以,且,

则,.

,

因为,则.

,

故 的取值范围是.

故答案为:

【点睛】

本题主要考查平面向量的应用,考查平面向量数量积的运算,是基础题.

6．【答案】135

【解析】由平面向量的知识进行正交分解，然后求出结果

【详解】

如下图为使小船所走路程最短，+应与岸垂直

，

则

故小船应朝与水流方向成135度角的方向行驶

【点睛】

本题考查了平面向量的正交分解，向量的三角形法则，属于基础题

7．【答案】

【解析】分析：设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时．关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.

详解：由题意，，

∴令，，故有共线，

∵，故当且仅当为最小时，最小，

∴有．关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，

∴，即.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知，．．的终点共线，且可分析得．关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.

8．【答案】.

【解析】由数量积的定义把用的余弦表示，由的范围可得结论．

【详解】

如图.∵为中斜边的中点，，∴.∵，

∴，∴.

∵，∴，∴.又在上，

∴，∴.

故答案为：．

【点睛】

本题考查用平面向量的数量积表示向量的模，掌握数量积的定义是解题关键．

9．【答案】0

【解析】分析：根据C点的坐标确定C点的轨迹方程，利用数形结合可得向量夹角的最大值，由数量积公式可知其最小值.

详解：设，直线

则，消参可得C的轨迹方程为，

即C点在圆心为,半径为的圆上，

过圆心做交于, 如图，

由点到直线距离公式可得，

（其中T为线段AB的中点）

由图可知，C运动到点，且Q与T重合时，，

所以的最小值为，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：作出C点所在轨迹的圆，直线，借助图象明显可知一般情况下向量的夹角为锐角，只有当C点在处，同时在图中位置时，向量的夹角最大且为直角，属于中档题.

10．【答案】6

【解析】先确定船的方向，再求出船的速度和时间.

【详解】

因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，

所以船的速度为km/h,

所以所用时间是.

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

11．【答案】

【解析】详解：，

由余弦定理，得，

得，，，

所以，所以．

点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可．

12．【答案】

【解析】分析：以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出点坐标，求出各点及的坐标，代入所求表达式，化简后可求得取值范围.

详解：以，为，轴建立直角坐标系则，

，，，，

设，则

，，，

，

当时，函数有最大值为，

当时，函数有最小值为，

的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本小题主要考查平面向量的坐标运算，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

13．【答案】3.

【解析】解三角形得出各边长，然后由数量积的定义计算．

【详解】

∵，∴.，

∴.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，通过直角三角形求出各边长，然后根据数量积的定义计算，解题关键是确定向量的夹角．为此利用相反向量计算．

14．【答案】

【解析】设，，，则，，

依题意可知，，，，故点在△的外接圆上.其半径，为点到直线的距离，

显然，当运动到点处时，有最大值.故答案为：.

15．【答案】

【解析】根据题意，作出图形，利用向量的关系，可求出△与△的面积关系，即可得到答案.

【详解】

由+2+3=，有+ -2

如图设分别为的中点，

则在中，+,

在中，,

由+ -2有,

所以三点共线且,

又分别为的中点，则为三角形的中位线.

所以点到直线的距离是点到直线的距离,

又点到直线的距离是点到直线的距离,

所以所以点到直线的距离是点到直线的距离,

即在边上的高是在边上的高的.

则

故答案为：

【点睛】

本题考查了平面向量的应用问题，根据向量的知识得出小三角形与原三角形面积之间的关系，是中档题．