高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例同步测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例同步测试题，共21页。试卷主要包含了点为平面上一点，有如下三个结论等内容，欢迎下载使用。
【特供】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-1随堂练习一．填空题1．点为平面上一点，有如下三个结论：①若，则点为的______；②若，则点为的______；③若，则点为的______.回答以下两个小问：（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上.A．重心B．外心C．内心D．垂心（2）请你证明结论②.2．在平面上，，，，若，则的取值范围是________.3．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量．，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．4．已知为单位圆上一动点，，，则的最小值是_______．5．
已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为__________．6．已知，，若在曲线上恰有4个不同的点，使，则的取值范围是________.7．在中，已知，且，则面积的最大值为___8．
已知向量=(4,-5), =(-7,9)分别表示两个力f1,f2,则f1+f2的大小为_____.    
9．在，点M是外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为____________．10．在中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于_____________．11．在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．12．
已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________.13．中，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值为____________14．△中，，，上的高，且垂足在线段上，为△的垂心且（），则________．15．在△ABC中，，△ABC的面积为，D为线段BC上一点，且CD=2BD，点E在线段AD的延长线上，满足，则的最小值为___________.
参考答案与试题解析1．【答案】(1)①重心;②内心;③外心.(2)证明见解析.试题分析：(1)对①,化为分析即可.对②,通过运算证明即可证明点在的角平分线上,同理可证点在的角平分线上即可.对③,先证明点为平面上一点,则满足,不全为0的点是唯一的,再论证当为外心时满足即可.【详解】(1)对①,因为,故,取中点为,则,故在边的中线上.同理在边的中线上,故为的重心.对②,同解析(2).对③,先证明点为平面上一点,则满足,不全为0的点是唯一的.证明：假设还有一点满足,则有,即,故,此时重合.所以点是唯一的.再证若为外心时,.证明：因为所以设的外接圆半径为则即.综上所述,为外心.(2)对,由正弦定理有.故,故.即故,故在的角平分线上,同理可证点在的角平分线上.故为的内心.【点睛】本题主要考查利用向量证明三角形的“四心”问题,需要根据对应的性质进行向量的运用化简,属于难题.【解析】2．【答案】【解析】根据题意,建立平面直角坐标系,设出．．．的坐标,由及可得关于O点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出的取值范围.【详解】因为,则为矩形,以所在直线为轴,以为轴建立平面直角坐标系.如下图所示:设,则,,,因为所以 变形可得因为,即由以上两式可得即因为,即所以则综上可知因为所以,即故答案为: 【点睛】本题考查了平面向量在坐标系中的综合应用,向量的加法运算与向量的模长,通过建立平面直角坐标系,用坐标研究向量关系是常见方法,属于中档题.3．【答案】【解析】分析：由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解.详解：设，，则点．在单位圆上，点．在直线上，的夹角为．如图所示．根据．的任意性，即求点．到直线距离之和的最小值，即 （点．分别是点．在直线上的射影点）；同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．设的中点为，设点．在直线上射影点分别为．，则，当且仅当点．．依次在一条直线上时，等号成立．所以，即所求实数的最大值是．故答案为：【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.4．【答案】【解析】分析：设代入数量积，结合三角恒等变换求取最值．详解：设，，当时，得最小值，最小值为．5．【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，,∴，当sin时，得到最小值为故答案为：
6．【答案】【解析】先由得，设，得到，，进而得到，令，由题意得到，函数与只需有两个交点，结合函数图像，即可得出结果.【详解】由得，解得；因为点在曲线上，可设，又，，则，，所以，令，因为在曲线上恰有4个不同的点，使，则函数与只需有两个交点；作出函数大致图像如下：由图像可得：或.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与曲线方程的综合，利用转化与化归思想，先将问题转化为函数图像交点问题，熟记向量数量积的坐标运算，二次函数的图像与性质，以及数形结合的思想即可，属于常考题型.7．【答案】2【解析】分析：利用解析法，建立平面直角坐标系，设，，，由题意可得到，求出的范围，即可得到面积的最大值．详解：如图所示：建立平面直角坐标系，设，，，由化简可得，，所以，故面积为，即面积的最大值为2.故答案为：2.8．【答案】5【解析】f1+f2==(-3,4),∴|f1+f2|==5.
 9．【答案】【解析】取边BC的中点为O，把（）？0转化为？0，得出⊥，△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用坐标表示得出AM的解析式，求出它的最大值与最小值即可．【详解】取边BC的中点为O，则（），又（）？0，∴？0，∴⊥，∴△ABC为等腰三角形，又∠A，∴△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示；并设BC＝2a（a），点M（x，y）；则A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），又BM＝2CM＝2，所以（x+a）2+y2＝4（x﹣a）2+y2＝1，所以解方程组，解得 或，所以当时，，令a2cosθ，则AM，所以当θ 时（AM）min＝1，同理当时，AM，所以当θ时（AM）max＝3；综上可知：AM的取值范围是[1，3]，AM的最大值与最小值的差是2.故答案为：2.【点睛】本题考查三角函数与平面向量的综合应用，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题，突破点是求最值三角换元的引入.10．【答案】【解析】分析：利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得方程，即可得出结论.详解：设BC=x，如图，则利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得， 解得故答案为：11．【答案】【解析】分析：取，，作，由平行四边形法则可得点轨迹，确定所求最大值为；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.详解：取，，作，为内（包含边界）的一动点且，根据平行四边形法则可知：点的轨迹为线段，.在中，，，，，，即的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够根据图形关系确定动点的轨迹，进而确定最大值点.12．【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，,∴，当sin时，得到最小值为故答案为：
13．【答案】【解析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得y=（x﹣3），当该直线与直线BC相交时，||取得最大值．【详解】∵中，，，∴∴b=10，∴B=90°；以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，∵AB=5，AC=10，∠BAC=60°，∴A（0，0），B（5，0），C（5，5），设点P为（x，y），0≤x≤5，0≤y≤，∵=﹣λ，∴（x，y）=（5，0）﹣λ（5，5）=（3﹣2λ，﹣2λ），∴，∴y=（x﹣3），①直线BC的方程为x=5，②，联立①②，得，此时||最大，∴|AP|==．故答案为：．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．14．【答案】.【解析】根据题意，求出，，得到，进而可得，再由三点共线，得到存在实数，使得，进而可求出结果.【详解】由题意，因为， ，，上的高，所以，，所以 ，即，即，因为为△的垂心，所以三点共线，因此存在实数，使得，所以，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的应用，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.15．【答案】【解析】分析：首先根据已知条件求出，然后将转化为，再结合均值不等式即可求解.详解：因为D在线段BC上，CD=2BD，所以，设，则，所以又即.即，当且仅当，即时取等.故答案为：.