北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用课时练习

【精挑】8 三角函数的简单应用-1优选练习

一．填空题

1．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东的方向上，仰角为，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）

2．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．

若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为________m．

3．如图，某公园要在一块圆心角为，半径为的扇形草坪中修建一个内接矩形文化景观区域，若，则文化景观区域面积的最大值为______.

4．如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为___________.

5．

 将函数y＝sin(－2x)的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为______________.

6．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．

7．某地一天0~24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是____________℃.

8．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定A点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1）

参考数据：，

9．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min，其中心O离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？

10．如图，某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道，某公园位于商业中心北偏东角，且与商业中心的距离为公里处，现要经过公园修一条直路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小时，的距离为    公里．

11．武汉是一座美丽的城市，这里湖泊众多，一年四季风景如画，尤其到了夏季到东湖景区赏景的游客络绎不绝.如图是东湖景区中—个半径为100米的圆形湖泊，为了方便游客观赏，决定在湖中搭建一个“工”字形栈道，其中，，分别为．的中点，则栈道最长为____米.

12．设符号，令函数，，则____．

13．下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系。

若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中，，）来近似描述，则该港口在11:00的水深为___________。

14．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为______米.

15．电流强度(安)随时间秒变化的函数的图象如下图所示，则当,秒时,电流强度是__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得.

【详解】

如图，

根据已知可得

设飞行高度为千米，即，则;

在直角三角形中，,所以，；

在直角三角形中，同理可求；

因为飞行速度为千米/小时，飞行时间是1分钟，所以,

所以，解得，故答案为：.

【点睛】

本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关键，融合了简单的物理知识，侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.

2．【答案】4

【解析】利用已知数据，确定合适的周期．振幅等，即可得出函数解析式，从而能求出该港口在的水深．

详解：由题意得函数（其中，，的周期为，

，解得，，

，

，

该港口在的水深为．

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查三角函数的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．【答案】

【解析】取中点，连结，交于点，交于点，连结，设，推导出和，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值．

详解：取中点，连结，交于点，交于点，连结，

设，则，，

，

文化景观区域面积：

，

当，即时，文化景观区域面积取得最大值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形．三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

4．【答案】

【解析】分析：设，分别求得，再根据，转化为，利用三角函数的性质求解.

详解：设，

由题意得：，

则，

，

，

，

，

，

，

当即时

取得最小值，最小值为

故答案为：

5．【答案】y＝－cos 2x

【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到：.

答案为：.

点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.

首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；

其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.

6．【答案】

【解析】利用周期计算公式求出，由最高亮度距离平均亮度0.2星等可求出A，由平均亮度可求出b，即可写出三角函数模型.

详解：设所求函数为，由题意得，即，，，故．

故答案为：

【点睛】

本题考查模型在实际问题中的应用，属于基础题.

7．【答案】14

【解析】根据，可知，由三角函数的性质即可求出.

详解：，，

当，即时，.

故答案为：14.

【点睛】

本题考查三角函数的实际应用，考查正弦型函数最值的求法，属于基础题.

8．【答案】31.6

【解析】由题意画出简图，设，即可得．，利用即可得解.

详解：由题意画出简图，如图：

由题意可得，，，

所以，

，

设，则在中，，

在中，，

所以，解得，

所以该建筑的高度约为米.

故答案为：31.6.

【点睛】

本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.

9．【答案】32.

【解析】根据题意得到，化简得到或，得到答案.

详解：设时间为，，根据题意：，故.

故或，故或，.

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.

10．【答案】．

【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，由，求得，所以，即，设，则的直线方程可表示为：，直线方程为：，解方程组得，所以,

当且仅当，即时取等号，此时，

考点：1.三角实际应用问题；2.直线方程；3.基本不等式．

11．【答案】

【解析】设圆心为，易知为中点，设，可得栈道长度；利用三角换元的方式可得到，根据正弦函数值域可求得所求最值.

【详解】

设圆心为，由球的对称性及可知，为中点

设，则

栈道长度

令

则，其中，

当时，，即栈道最长为米

本题正确结果：

【点睛】

本题考查实际问题中的最值问题的求解，关键是能够建立起合适的函数模型，通过三角换元的方式，利用正弦函数最值来求得结果.

12．【答案】

【解析】分析：由题意结合新定义的知识和三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：由新定义的知识可知：

，

由于 ，故，

，

由于，

故，

据此可得：.

点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念．新公式．新定理．新法则．新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

13．【答案】

【解析】从数表可以看出最大值和最小值分别为，周期为,即且，解之得，所以，所以当时, ,故应填。

考点：三角函数的图象和性质在实际生活中的运用。

【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点。本题以三角函数的图象和性质为背景设置了一道求函数解析表达式为的实际应用问题。解答本题时，首先要求确定其中的未知参数的值，然后再求时的函数值。体现了三角函数的图象和性质等有关知识的在实际问题中的运用价值。解答过程中先求的值时，充分利用题设中提供的数表信息，通过建立方程组，从而求出的值，进而使得问题获解。

14．【答案】

【解析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．

【详解】

解：由题意可知，，，，

．

故答案为：.

【点睛】

本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．

15．【答案】-5（安）

【解析】由图象可知，函数，为五点中的第二点，，，，当秒时，安，故答案为（安）.

【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.