高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理课时练习

【优质】4.1 平面向量基本定理-2优选练习

一．填空题

1．已知向量，， 若，则实数=        ．

2．若且//,则锐角=__________ .

3．在同一平面内已知，，，若以A，B，C为顶点可以构成一个三角形，则m的取值范围是______________.

4．已知向量,，若,则实数______．

5．已知，.若，，三点共线，则实数___________。

6．已知点，，，，为坐标原点，则=______，与夹角的取值范围是______．

7．已知，，则________.

8．已知向量，，若向量∥，则实数________

9．已知向量，，若，则m=_______.

10．已知，，则与向量共线的单位向量为___________.

11．已知，，若，则实数λ＝________.

12．已知三点共线，则___________.

13．已知三点．．在一条直线上，点，，且，则点的坐标为______.

14．已知向量，，．若，则________．

15．已知向量，若与平行，则实数m等于______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用向量平行的坐标形式，即可得到结果.

详解：由，可得．

故答案为：

【点睛】

本题考查平面向量平行的等价条件，考查运算能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】由向量平行的坐标运算计算．

详解：∵//,∴，又为锐角，，∴，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量平行的坐标运算，考查同角间的三角函数关系，属于基础题．

3．【答案】（或写成也对）

【解析】先求出A，B，C共线时的值，则所求的取值范围就是前者在中的补集.

详解：因在同一平面内，故只要A．B．C三点不共线就能构成三角形.

由题意，，

假设共线，则，解得，

所以三点构成三角形时有，

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量共线的坐标表示，一般地，如果，那么：

（1）若，则；

（2）若，则；

4．【答案】

【解析】根据两向量平行可知,代入坐标即可求解.

详解：解:因为向量,，且,

所以,解得.

故答案为:

【点睛】

本题考查平面向量共线的基本定理及其坐标表示,是基础题.

5．【答案】

【解析】由三点共线转化为向量共线，列式求的值.

详解：三点共线，，

，

解得：.

故答案为：

【点睛】

本题考查三点共线求参数的取值，重点考查计算，属于基础题型.

6．【答案】1     

【解析】由题意结合平面向量的相关知识可得，即可得点在以为圆心，1为半径的圆上，结合平面向量夹角的概念数形结合即可得解.

详解：由题意可得，

所以；

则点在以为圆心，1为半径的圆上，如图：

由图可知，当与夹角最小值为0，

当直线与圆相切时，与夹角取最大值，连接，

易得为锐角且，

所以，

所以此时与夹角的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查了平面向量线性运算及其坐标表示．平面向量模的求解，考查了平面向量夹角的概念与数形结合思想，属于中档题.

7．【答案】

【解析】直接利用平面向量坐标形式的减法运算法则求解即可.

详解：因为，，

所以

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面向量坐标形式的减法运算法则，属于基础题.

8．【答案】

【解析】直接利用向量共线的坐标运算得答案．

详解：因向量∥，所以－m＝6，m＝－6,

故答案为-6.

【点睛】

本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．

9．【答案】8

【解析】根据向量平行的坐标关系,可得关于的方程,解方程即可求得的值.

详解：向量,

因为,所以,

解得.

故答案为:8

【点睛】

本题考查了平面向量平行的坐标关系,属于基础题.

10．【答案】，

【解析】求向量的坐标和模长，即可得与向量共线的单位向量

详解：，且，

所以与向量共线的单位向量为或

故答案为：，

【点睛】

本题主要考查了求平行向量与共线向量，涉及模长公式，属于基础题.

11．【答案】

【解析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

详解：解：因为，，所以，因为，所以

解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.

12．【答案】50

【解析】分析：根据三点坐标写出和，再由三点共线，得出，写出关系式，解出即可.

详解：由三点共线得，因为，所以

，，所以，所以，解得，所以.

故答案为：50

【点睛】

本题主要考查点共线和向量共线问题，涉及到坐标之间的运算，属于基础题.

13．【答案】；

【解析】先设点，再结合向量相等的坐标表示求解即可.

详解：解：设点，

由，，

则，，

又，

则 ，解得，

即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，重点考查了向量相等的坐标表示，属基础题.

14．【答案】

【解析】由两向量共线的坐标关系计算即可．

详解：由题可得

,即

故答案为

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．

15．【答案】

【解析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．

详解：解：由向量和，

所以，

，

由与平行，所以．

解得．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．