高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识5.2 余弦函数的图象与性质再认识习题

【基础】5.2 余弦函数的图象与性质再认识-1课时练习

一．填空题

1．已知函数在区间上是单调函数，则实数的最大值为__________.

2．不等式的解为______

3．函数，的最小值为________.

4．若函数的最大值为1，最小值为，则___________.

5．若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是______.

6．若函数在上恰有一个最大值，则的取值范围是__________.

7．设，点在第三象限，则角的取值范围是_________________.

8．已知函数的图像经过两点，当时，，则实数的取值范围是____________.

9．函数的图像与函数的图像的所有交点为，则_______

10．已知关于x的方程，有两个不相等的实数解，则实数m的取值构成的集合是______．

11．函数的图象相邻的两对称轴之间的距离是______．

12．下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.

① 函数是周期为的偶函数；

② 若 是第一象限的角，且，则 ；

③是函数的一条对称轴方程；

④ 在内方程有3个解

13．如图，由曲线（其中，常数）．轴．轴及直线所围成图形（阴影部分）的面积等于________

14．如图，扇形的半径为1，圆心角为，若为弧上异于，的点，且交于点，当的面积大于时，的大小范围为______.

15．把函数的图象上所有的点的橫坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数解析式为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用函数的单调性求解即可.

【详解】

的单调增区间为

当时，的单调增区间为

由于

则要使函数在区间上是单调函数

必须

即实数的最大值为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正弦型函数的单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题.

2．【答案】

【解析】由反余弦函数的定义域及单调性可得，再求解即可.

【详解】

解：由函数是定义在的减函数，

又，

则 ，解得：，

即不等式的解集为：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了反余弦函数的定义域及单调性，属基础题.

3．【答案】

【解析】根据角的范围求出的范围，利用余弦函数的性质即可求解.

【详解】

因为，

所以，

所以，

即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了余弦函数的性质，属于中档题.

4．【答案】5或

【解析】设，则，，所以函数转化为关于的一次函数，再讨论一次函数的单调性，确定最值，解方程组即可求解．

【详解】

设，则，．

当时，有，解得；

当时，有，解得．

所以或．

故答案为：5或．

【点睛】

本题主要考查含三角函数的复合函数的最值或值域问题的解法，利用换元将函数变成一次函数或二次函数，再利用单调性求最值或值域是常见的解题方法，属于中档题．

5．【答案】

【解析】求得向左平移个单位后的表达式，根据变换后函数图像关于轴对称列方程，由此求得的表达式，进而求得的最小正值.

【详解】

将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再根据所得图象关于轴对称，可得，，，则的最小正值为.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性，属于基础题.

6．【答案】

【解析】,换元后,转化为在上恰有一个最大值,利用正弦函数的图象列式可得.

【详解】

令,因为,

所以,

因为函数在上恰有一个最大值,

所以在上恰有一个最大值,

如图所示:

由图可知:,

解得.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了正弦函数的图象和性质,属于中档题.

7．【答案】

【解析】第三象限有，解之可得．

【详解】

∵在第三象限，∴，又，∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查三角函数的符号，考查解三角不等式，解题关键是掌握正弦函数与余弦函数的性质．

8．【答案】

【解析】先求出，再化简函数，由的范围和正弦函数的图象与性质，求出的最值，由条件和恒成立列出不等式，求出实数的取值范围．

【详解】

已知函数的图象经过，，两点，，

．

函数，

当，时，，，，，1, ，

当时，； 当时，．

当，时，恒成立，，，

求得，

则实数的取值范围是，，

故答案为：，．

【点睛】

本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，函数的单调性，以及恒成立与存在性问题的转化，考查转化思想，换元法．分离常数法，化简．变形能力，属于难题．

9．【答案】

【解析】如下图，画出函数 和 的图象，可知有4个交点，并且关于点 对称，所以 ， ，所以 .

【点睛】本题考查了函数图像的应用，是高考热点，当涉及函数零点个数时，可将问题转化为两个函数图像的交点个数，或是多个零点和的问题，那就需观察两个函数的函数性质.，比如对称性等，帮助解决问题.

10．【答案】

【解析】由函数为定义域内的偶函数，结合已知可得在上，方程只有一个实数解，再由正弦型函数的值域可得m值．

【详解】

函数为定义域内的偶函数，

则要使方程，有两个不相等的实数解，

则在上，方程只有一个实数解．

又 所以由三角函数的图象与性质得．

实数m的取值构成的集合是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查三角函数的最值，考查函数奇偶性性质的运用，是中档题．

11．【答案】

【解析】推导出函数，由此能求出函数图象相邻的两对称轴之间的距离．

【详解】

函数

，

所以函数的最小正周期为，

函数的图象相邻的两对称轴之间的距离是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数图象相邻的两对称轴之间的距离的求法，考查行列式的性质．三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

12．【答案】①③

【解析】根据的图像与性质即可判断①;根据在第一象限内,由角的取值情况即可判断②;根据正弦函数的性质可判断③;将函数化为,根据方程的解即可判断④.

【详解】

对于①, 函数的图像如下图所示:

由图可知,函数的周期为,且为偶函数,所以①正确;

对于②,在第一象限的角,当时,满足,但,所以②错误.

对于③, 函数的对称轴为,解得,当时解得,所以③正确.

对于④, .在内,当时,等式成立;当时, ,解得.因为在内不成立,所以只有1个解,即④错误.

综上可知, 正确命题的序号为①③

故答案为: ①③

【点睛】

本题考查了正弦函数与正切函数函数图像与性质的综合应用,综合性较强,属于中档题.

13．【答案】

【解析】利用正弦函数的对称性及周期性，直接计算即可．

【详解】

由可知曲线关于（1）对称，且周期为，故阴影部分的底面边长为，且图中M与N的面积相等，利用割补法将M补到N中，则阴影部分的面积为，

故答案为：

【点睛】

本题考查了割补法求面积，关键是利用正弦函数的对称性得到M与N的面积相等．

14．【答案】

【解析】利用三角形的面积公式，列不等式求解即可.

【详解】

，

，则

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角不等式，注意角的范围，利用正弦函数的图像可快速解出.

15．【答案】

【解析】根据横坐标缩短为原来的倍可知变为，又由所有点向左平移个单位可知这个整体变为，由此可得新的函数解析式.

【详解】

因为横坐标缩短为原来的倍，所以可得，

又因为所有点向左平行移动个单位，所以可得，即.

故答案为：.

【点睛】

（1）函数的图象可以看作的图象上所有点的横坐标缩短（当）或伸长（当）到原来的倍（纵坐标不变）；

（2）函数的图象可以看作的图象上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位.