北师大版高中数学必修第二册4-1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义作业3含答案
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一．填空题
1．若，则___________.
2．已知，则=_____.
3．如图，已知直线，A是，之间的一个定点，并且点A到，的距离都为2，B是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点C，设，则面积的最小值是_________，周长的最小值是_________．
4．已知，且，则___________.
5．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________.
6．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点是角终边上一点且，则___________.
7．已知函数，若，则__________．
8．设是函数的一个极值点，则___________.
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________．
10．已知角的终边经过点，则______，______．
11．设的内角，，所对的边分别为，，，且，若，，成等差数列，则__________.
12．已知，则________．
13．已知角，且满足 ，则 _______.
14．已知锐角中，，则的取值范围为______.
15．已知，且，则_________________．
参考答案与试题解析
1．【答案】或
【解析】分析：由平方关系结合两角和的正弦公式得出或，再分类讨论得出的值.
详解：因为，所以
即，即
所以或.
当时，；
当时，.
综上，或.
故答案为：或
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于对的应用，结合配方法得出的值.
2．【答案】1
【解析】分析：由得的值，再将所求式子利用1的代换，即分母除以，化成关于的表达式，再求值．
详解：由得，
所以．
故答案为：1
3．【答案】4
【解析】分析：由题意得， ，则，分析得到面积的最小值;
又在中，，所以周长，
令，则，所以，分析得到周长的最小值.
详解：由题意得：,
所以，又因为且,则，
所以，
则，
当即当时，能取得最小值，最小值为4;
又因为，所以
所以在中，
周长
，令，则，
所以，
当时，上式取得最小值，最小值为.
故答案为：4，
【点睛】
在应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．
4．【答案】
【解析】分析：先由已知条件求出，然后求出的值，从而可求出
详解：解：因为，，
所以，
，
所以
，
因为，所以，
所以，
故答案为：
5．【答案】
【解析】分析：将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得.
详解：因t=2sin18°，则有
.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式．同角三角函数基本关系．和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分．约分，合并等方法解决.
6．【答案】
【解析】分析：利用三角函数的定义以及同角三角函数基本关系可计算出的值，再利用化弦为切即可求解.
详解：因为点是角终边上一点，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
7．【答案】
【解析】分析：分别在和时，解方程，即得结果.
详解：当时，，而，故，解得；
当时，，方程无解．
故．
故答案为：．
8．【答案】
【解析】分析：由条件可得，然后由算出答案即可.
详解：因为，是函数的一个极值点
所以，所以
所以
故答案为：
9．【答案】8
【解析】分析：由，求得，然后利用余弦定理求解.
详解：由，得，
因为，
所以，
由余弦定理得，
即，
解得舍去．
故答案为：8
10．【答案】
【解析】分析：由题意可得x＝3,y＝1,r＝，求得sinα的值，cosα的值，可得sinα与cosα的值，进而求得．
详解：由题意可得x＝3，y＝1，r＝，∴sinα，
且cosα，∴.
故答案为,
【点睛】
已知角的终边的一点坐标为时，则sinα，cosα，.
11．【答案】
【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C表示∠A与∠B；根据，，成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化．得到关于∠C的等式；由即可得到最后的值．
详解： ;
所以 ,
同取正弦值，得
因为，，成等差，所以 ，由正弦定理，边化角
，根据倍角公式展开
由于
所以 ，等式两边同时平方得
，化简 ，即
而，
则
故答案为：
【点睛】
本题在三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，熟练掌握各个式子的相互转化是解题的关键．
12．【答案】
【解析】分析：利用同角的三角函数关系式进行求解即可.
详解：.
故答案为：
13．【答案】
【解析】分析：根据和，解方程组求得，进而求出，再利用正切二倍角公式即可.
详解：由 得
整理得
或
所以
故答案为：.
14．【答案】
【解析】分析：根据正弦定理由条件得到；再根据锐角三角形求出角的范围；根据二倍角公式把转化为的形式，从而根据对勾函数求范围.
详解：因为，所以由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，即，
所以，所以或(舍)，所以.
又因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
又
，
因为，所以，所以，
令，则，且.
故答案为：.
15．【答案】
【解析】分析：根据已知三角恒等式，应用二倍角余弦公式求，同角三角函数的平方关系求，商数关系求即可.
详解：由得，
∴，，解得，
∴，即．
故答案为：.
