高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、力与向量的概念课时练习

【精编】1.1 位移、速度、力与向量的概念-1作业练习

一．填空题

1．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__________.

2．零向量与单位向量的关系是__ (填“共线”．“相等”．“无关”)．

3．
已知向量满足，，则的夹角为__________．

4．
设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K,L,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量相等的向量是____.

5．
如图所示，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则||=______.

6．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是__．

7．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有__________个.

8．已知点，点，则与共线的单位向量为______.

9．
给出下列命题：①若||=0,则=0；②若是单位向量，则||=1；③与不平行，则与都是非零向量. 其中真命题是 _______(填序号)

10．
若与平面向量方向相反的单位向量为，则的坐标为__________．

11．给出下列命题：

①若 ，则；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是________．

12．
设O是正方形ABCD的中心，则①；②；③与共线；④.其中，所有表示正确的序号为________．

13．
23．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地西南方向飞行km到达丁地，丁地与甲地的距离为________.

14．若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，则向量的坐标为________.

15．如图，四边形和都是平行四边形

（1）与向量相等的向量有__________；

（2）若，则__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】本题首先可以通过题意确定向量的终点构成的图形的形状，然后根据圆的面积公式即可得出结果．

【详解】

由题意可知，这些向量的终点构成的图形是一个圆环，

圆环的小圆半径为，圆环的大圆半径为，

所以圆环的面积为，故答案为．

【点睛】

本题考查向量的定义的应用，考查圆的面积公式的使用，向量是有方向和大小的量，考查推理能力与运算能力，是简单题．

2．【答案】共线

【解析】根据零向量的定义，可知零向量的方向是任意的，零向量与任意向量共线，即可得到答案。

【详解】

根据零向量的定义，可知零向量的方向是任意的，零向量与任意向量共线，所以零向量与单位向量的关系是共线的。

【点睛】

本题主要考查了零向量的概念及其应用，其中解答中熟记零向量的方向是任意的，零向量与任意向量共线是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

3．【答案】

【解析】由题得, 因为,

所以

故填.

4．【答案】

【解析】因为点K,L分别是AB,BC的中点,

所以KL∥AC,KL=AC,

因为点M,N分别是CD,DA的中点,

所以MN∥AC,MN=AC,

所以KL∥MN,KL=MN,

所以

故答案为：

点睛：本题考查了对相等向量的理解，充分利用中位线定理转化线段间的关系.

5．【答案】

【解析】因为正方形的边长为 ，所以正方形的对角线长为2，所以||=,故答案为.

6．【答案】||=||

【解析】由题意可知，当腰梯形中，满足，即可求解。

【详解】

由题意可知，当腰梯形中，满足，所以。

【点睛】

本题主要考查了向量的模的概念及其应用，其中解答中熟记向量的模的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

7．【答案】11

【解析】画图列举即可

【详解】

马在处有两条路可走，在处有三条路可走，在处有八条路可走.如图，以点为起点作向量，共3个；以点为起点作向量，共8个所以共有11个.

故填11

【点睛】

本题考查向量的概念，考查数形结合思想是基础题

8．【答案】或

【解析】求出和，即可写出与共线的单位向量.

详解：解：点，点，

所以，

所以，

所以与共线的单位向量为，

即或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查单位向量的概念，考查运算求解能力，求解时注意向量是既有大小又有方向的量.

9．【答案】②③

【解析】对于①，若||=0，则，而不是=0．故①不正确；

对于②，若是单位向量，则的长度为1，即||=1．故②正确．

对于③，由于零向量与任意向量平行，所以当与不平行时，则必有与都是非零向量．故③正确．

综上②③正确．

答案：②③

10．【答案】

【解析】试题分析：平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），根据|，解得k．

详解：

平面向量与方向相反，

设=k（﹣1，2），（k＜0），

∵|，∴，解得k=．

则=，

故答案为：．

点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.

11．【答案】③

【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.

详解：①错误．若，则①不成立；

②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；

④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．

故答案为：③

【点睛】

本题主要考查平面向量的概念及其关系，要注意零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断，属于基础题.

12．【答案】①②③

【解析】设是正方形的中心，则①，，因为与大小相等，方向相同，正确；

②，正确；

③与共线，正确；

④.错误， 与大小相等，方向不同.

即答案为①②③

13．【答案】1000km.

【解析】根据题意画出示意图（如图），用A，B，C，D分别表示甲地．乙地．丙地．丁地，

依题意知△ABC为正三角形．

所以AC=2000km．

又因为∠ACD=45°，CD=1000km，

所以△ACD为等腰直角三角形．

所以AD=1000km．

答案：1000km

14．【答案】

【解析】把函数式配方后，根据图象变换知可得．

【详解】

，因此把它向左平移1个单位，再下平移3个单位可得的图象．∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数图象平移，考查向量的概念．属于基础题．

15．【答案】    6 

【解析】（1）根据相等向量的定义，即可求解

（2）利用向量共线的充要条件将用表示，求出模．

【详解】

①根据相等向量的定义及平行四边形性质：与向量相等的向量有

②

6

；6

【点睛】

本题考查向量共线的充要条件．向量模的性质．