高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 向量的数乘与向量共线的关系当堂检测题

【精选】3.2 向量的数乘与向量共线的关系-1练习

一．填空题

1．点P是△所在平面上一点，若，则△与△的面积之比是___________.

2．如图，在中，，点E为的中点.设，，则______（用，表示）.

3．在△ABC中，已知为△ABC的重心，用表示向量=_____

4．在四面体中，．分别是．的中点，若记，，，则______.

5．化简：______.

6．若，与方向相反，且，则_______________．

7．如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，点关于点B的对称点为N，用， 表示向量 __________ .

8．已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．

9．若为正方形，为的中点，且，，则可以用和表示为____________.

10．如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，，分别与交于，两点，用向量，表示向量，则______.

11．如图，在平行四边形中，，，点为对角线与的交点，点在边上，且，则________.（用，表示）

12．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则__________.

13．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.

14．如图，，为内的两点，且，，则与的面积之比为_______.

15．在中，，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】结合平面向量的线性运算，可推出，从而可知点在边上，且，进而可得，即可得出答案.

详解：由题意，，

所以，即.

所以在△中，点在边上，且，

设点到边上的高为,则.

故答案为：.

【点睛】

若，则三点共线，且.

2．【答案】.

【解析】利用向量加法的平行四边形法则得到，然后利用向量减法，可得结果.

详解：因为点E为的中点，

所以，又

且

所以

化简可得：

即

故答案为：

【点睛】

本题主要考查向量的线性表示，熟练使用向量的加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量的减法，属基础题.

3．【答案】

【解析】利用三角形的重心的性质，即可用向量表示向量，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，设边的中点为，

因为为△ABC的重心，且，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算法则，以及三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记三角形重心的性质，熟练应用向量的运算法则求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】利用三角形加法运算法则得出，再根据平行四边形运算法则和向量减法运算，即可化简求出结果.

详解：解：在四面体中，．分别是．的中点，

则

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间向量的加减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

5．【答案】

【解析】直接利用个向量的加减法的法则，运算求得结果．

详解：解：

.

故答案为：．

【点睛】

本题考查两个向量的加减法以及数乘的运算律，属于基础题．

6．【答案】

【解析】分析：利用平面向量共线定理以及向量的数乘运算即可求解.

详解：因为与方向相反，

所以设，则，

所以，可得，

又，所以．

故答案为：．

7．【答案】

【解析】由已知得是的中位线，从而，由此能求出结果．

【详解】

，，任意点M关于点A的对称点为S，点关于点B的对称点为N，

是的中位线，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

8．【答案】

【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.

∴

9．【答案】

【解析】利用平面向量基本定理，取和为基底，将用基向量表示出即可．

【详解】

如图，．

故答案为：.

【点睛】

考查向量的加法．减法．数乘运算的综合运用，属于容易题．

10．【答案】

【解析】在平行四边形中,因为点是边的中点,所以可以证明,且相似比为,从而证明出是的三等分点,同理也是的三等分点,进而可以利用向量的三角形法则求出.

【详解】

在平行四边形中,,

,

,且相似比为,

,即是的三等分点,

同理也是的三等分点,

,

故答案为:.

【点睛】

本题考查了向量三角形法则的应用,结合了平面几何的知识,难度不大.

11．【答案】

【解析】结合平面向量共线定理及线性运算即可求解．

【详解】

解：由题意可得，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．

12．【答案】

【解析】根据平面向量线性运算可得到，由此确定的值，从而求得结果.

详解：，

，，，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算，考查学生对于平面几何中的向量运算掌握的熟练程度.

13．【答案】

【解析】分析：解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.

解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.

详解：解法1：因为，所以，

又，

所以

因为点三点共线，

所以，

解得：.

解法2：

因为，设，

所以，

因为，所以，

又，

所以，

所以，

又，

所以 解得： ，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算．三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.

14．【答案】

【解析】设，，则，根据考查向量加法的平行四边法则，可知，再利用等面积法分别确定，，求解即可.

【详解】

如图，

设，，则，连接，，

过点，点作的垂线，垂足分别为点，点，

由向量加法的平行四边形法则可知

又

同理可得

∴.

故答案为：

【点睛】

本题考查向量加法的平行四边法则，等面积转化法，是解决本题的关键，属于较难的题.

15．【答案】

【解析】利用向量减法得到B，D，C三点共线的向量关系，即得到.

详解：因为，所以

所以，所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量的共线关系，属于基础题.