北师大版 (2019)必修 第二册3.2 向量的数乘与向量共线的关系同步训练题

【优编】3.2 向量的数乘与向量共线的关系-1作业练习

一．填空题

1．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．

2．已知，设，则实数____________.

3．________________．

4．已知梯形中，，且，若，，则________.

5．已知G是的重心，是的中点 则____________

6．已知直线与平行四边形的两边，分别交于点，，且交其对角线于点，若，，，则______.

7．如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为_____.

8．若是内部一点，且满足，则与的面积比为_______.

9．已知，若，则_________

10．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则__________.

11．已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．

12．下面给出四个命题：

①对于实数和向量．，恒有；

②对于实数．和向量，恒有；

③若，则；

④若，则.

其中正确的命题是______.

13．在四面体中，．分别是．的中点，若记，，，则______.

14．如图，在平行四边形中，，，点为对角线与的交点，点在边上，且，则________.（用，表示）

15．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且，给出下列结论：

①；②；

③；④.

其中正确的结论的序号为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据四点共面的充要条件即可求出t的值.

【详解】

P，A，B，C四点共面，且，

，解得.

故答案为:

【点睛】

本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.

2．【答案】2

【解析】利用向量的减法和数乘运算，得到，从而得到的值．

【详解】

根据条件，，

∴．

故答案为：2.

【点睛】

考查向量减法及数乘运算，考查基本运算求解能力，属于基础题．

3．【答案】

【解析】

故答案为

4．【答案】

【解析】由题意结合平面向量共线的性质．线性运算法则直接运算即可得解.

详解：由题意画出图形，如图：

，，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了平面向量线性运算．数乘的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5．【答案】4

【解析】由是的中点，G是的重心，则，，再联立求解即可.

【详解】

解：因为是的中点，G是的重心，则，即

又，所以,

所以,

故答案为：.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的重心的性质，属基础题.

6．【答案】

【解析】可画出图形，根据条件可得出，然后根据，，三点共线即可得出，解出即可．

详解：解：如图，

；

；

．．三点共线；

；

．

故答案为：．

【点睛】

考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，由．．三点共线及可得出．

7．【答案】

【解析】根据条件便可得到，然后两边平方即可得出，而由条件，代入上式即可得出，从而配方即可求出的最小值，进而得出的最小值．

详解：解：

；

，，代入上式得：

；

；

时，取最小值；

的最小值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法．

8．【答案】

【解析】利用向量的加法运算得出，取的中点为，进而得出点为的重心，根据重心的性质即可得出答案.

详解：

取的中点为，则

即，则点为的重心

根据重心的性质可得，点到的距离是点到的距离的

则

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.

9．【答案】

【解析】由可直接得解.

【详解】

由可得：.

所以.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了向量的数乘运算的性质，属于基础题.

10．【答案】

【解析】根据平面向量线性运算可得到，由此确定的值，从而求得结果.

详解：，

，，，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算，考查学生对于平面几何中的向量运算掌握的熟练程度.

11．【答案】

【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.

∴

12．【答案】①②④

【解析】①②满足实数与向量积的运算律；③若，不一定有；④正确．

详解：解：①②满足实数与向量积的运算律，故①②正确；

③若，不一定有，故③错误；

④，则，其中，则，故④正确．

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了向量与实数的运算法则，属于基础题．

13．【答案】

【解析】利用三角形加法运算法则得出，再根据平行四边形运算法则和向量减法运算，即可化简求出结果.

详解：解：在四面体中，．分别是．的中点，

则

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间向量的加减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

14．【答案】

【解析】结合平面向量共线定理及线性运算即可求解．

【详解】

解：由题意可得，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．

15．【答案】①②③

【解析】根据向量的加法和减法运算，将向量用基底表示，逐项验证即可.

详解：如图，，①正确；

，②正确；

，③正确；

，④不正确.

故答案为:①②③.

【点睛】

本题考查向量的线性关系的几何意义，属于基础题.