高中数学6.1 余弦定理与正弦定理课后练习题

【基础】6.1 余弦定理与正弦定理-2作业练习

一．填空题

1．如图，非零向量＝a，＝b且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ＝________.

2．把边长为1的正方形如图放置，．别在轴．轴的非负半轴上滑动．则的最大值是            ．

3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于________．

4．已知a＝(1，－1)，b＝(－1,3)，c＝(3,5)，若c＝xa＋yb，则实数x＝________，y＝________.

5．

设， ， ，且，则在上的投影的取值范围是       .

6．在四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是________．

7．在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算，今有一弹簧原长90，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），则外力克服弹簧弹力所做的功为        （结果用小数表示）.

8．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的最大值是         ．

9．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|为________．

10．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则m+n的取值范围是           ．

11．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________．

12．已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，则向量与向量的夹角的取值范围是________．

13．已知圆O的圆心为，则过圆上一点的圆的切线方程为__________________．

14．

在梯形中，已知，，，分别为，的中点，若，则       ．

15．△ABC中，||＝3，||＝4，||＝5，则·＝______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】＝λa－b，a·(λa－b)＝0，则

λ＝.

2．【答案】2

【解析】设，则，

，所以．

3．【答案】1

【解析】由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.

所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x，

而x∈(0，π)，

所以sin x＝cos x，即x＝，故tan x＝1．

4．【答案】7　4

【解析】

5．【答案】

【解析】

试题分析：设在上的投影为

.当时；当时，故当时， 取最小值为，即， ；当时，

， ；综上可得.

考点：平面向量数量积的运算.

【易错点睛】由条件可得的值，可得在上的投影为，分类讨论，求得的范围，要得的取值范围.本题的考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是关键，是中档题.

6．【答案】矩形

【解析】由·＝0？⊥，又＝，∴AB綉DC.

7．【答案】

【解析】由题目条件知把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内）需要的力，从而外力克服弹簧弹力所做的功为，故答案填.

考点：向量问题在物理方面的应用.

8．【答案】

【解析】因为平面向量和的的长度都为，且夹角为，所以,由可得，所以，解得，所以的最大值是.

考点：向量在平面几何中的应用.

【方法点晴】本题主要考查了向量在平面几何中的应用，考查了利用重要不等式求最值问题，属于中档题.本题解答的关键是把两边平方，利用平面向量数量积的性质得到，根据基本不等式把上式转化为关于的一元二次不等式，通过解不等式即可求得其最大值.

9．【答案】

【解析】∵F1＋F2＝－F3，(F1＋F2)2＝(－F3)2.

即F＋F＋2F1·F2＝F，

∴F1·F2＝－.

∴|F1－F2|＝＝＝.

10．【答案】（﹣1，0）

【解析】试题分析：先利用向量数量积运算性质，将两边平方，消去半径得m．n的数量关系，利用向量加法的平行四边形法则，可判断m+n一定为负值，从而可得正确结果．

试题解析：解：∵|OC|=|OB|=|OA|，，

∴2=（）2=m22+n22+2mn？

∴1=m2+n2+2mncos∠AOB

当∠AOB=60°时，m2+n2+mn=1，即（m+n）2﹣mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1，

所以（m+n）2＜1，

∴﹣1＜m+n＜1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则=，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，

∴m+n＜0，所以m+n的取值范围（﹣1，0）．

故答案为：（﹣1，0）．

考点：向量在几何中的应用．

点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，排除法解选择题，难度较大．

11．【答案】垂心

【解析】由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．

12．【答案】

【解析】由题意，得＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使直线OA与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大．最小值．

13．【答案】

【解析】设为该切线上任意一点，则，又，，所以，该切线方程为：，即：

．

14．【答案】

【解析】试题分析：如图所示，因为，，，分别为，的中点，所以因为,所以,, 所以

考点：平面向量的线性运算．

【方法点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，向量加法．减法的三角形法则，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.解得本题首先作出图形，根据，分别为，的中点，得到在中，根据向量加法的三角形法则表示出,再有向量减法的三角形法则得到的表达式.

15．【答案】0

【解析】由已知△ABC是直角三角形，∠A＝90°.

∴⊥.∴·＝0.