高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响课后练习题

【精挑】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-1作业练习

一．填空题

1．已知平面向量，，，，满足，，，则的最大值为______.

2．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为________.

3．设O是直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为______.

4．在中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是_________．

5．
已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为__________．

6．平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为_____ N．

7．已知,点为曲线上一个动点,为原点,则 的取值范围是_____．

8．在，点M是外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为____________．

9．中，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值为____________

10．
已知是单位向量，。若向量满足________.

11．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，，则的值为______．

12．设为平面向量，，若，则的最大值为______．

13．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.

14．设，且，则代数式的最小值为______.

15．A．B是直线上的两个动点，且，点（其中），则的最小值等于___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】设，

则

设，，不妨设，，

，，，即为的重心.

则，

点位于圆上或圆内，故当在射线与圆周交点时，最大，即最大时.

由得，.

当且仅当时，取到最大值.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】分析：取的中点D，则可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.

详解：设中点为，则 ，

所以，

∴，

∴，

由得角为锐角，

故，

当且仅当，时最小，又在递减，故此时最大.

此时，恰有，即为直角三角形，

∴.

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

3．【答案】

【解析】利用向量共线的推论表达出再求和即可.

详解：由题,

故

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了向量共线定理与等差数列求和的运用,属于中等题型.

4．【答案】

【解析】分析：取，，作，由平行四边形法则可得点轨迹，确定所求最大值为；利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长，利用勾股定理可求得结果.

详解：取，，作，

为内（包含边界）的一动点且，

根据平行四边形法则可知：点的轨迹为线段，.

在中，，

，，

，，

即的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够根据图形关系确定动点的轨迹，进而确定最大值点.

5．【答案】

【解析】

如图建立平面直角坐标系，,

∴

，

当sin时，得到最小值为

故答案为：

6．【答案】

【解析】根据力的平衡有，两边平方后可求．

【详解】

由题设有，故，

所以，故，填．

【点睛】

向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.

7．【答案】

【解析】由题意知,且,则,即可得出,得出 的取值范围.

详解：解:因为点为曲线上一个动点,

所以,且,

则,.

,

因为,则.

,

故 的取值范围是.

故答案为:

【点睛】

本题主要考查平面向量的应用,考查平面向量数量积的运算,是基础题.

8．【答案】

【解析】取边BC的中点为O，把（）？0转化为？0，得出⊥，△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用坐标表示得出AM的解析式，求出它的最大值与最小值即可．

【详解】

取边BC的中点为O，则（），

又（）？0，∴？0，

∴⊥，∴△ABC为等腰三角形，

又∠A，∴△ABC为等边三角形，

以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，

建立平面直角坐标系如图所示；

并设BC＝2a（a），点M（x，y）；

则A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），

又BM＝2CM＝2，

所以（x+a）2+y2＝4

（x﹣a）2+y2＝1，

所以解方程组，

解得 或，

所以当时，

，

令a2cosθ，

则AM，

所以当θ 时（AM）min＝1，

同理当时，

AM，

所以当θ时（AM）max＝3；

综上可知：AM的取值范围是[1，3]，

AM的最大值与最小值的差是2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查三角函数与平面向量的综合应用，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题，突破点是求最值三角换元的引入.

9．【答案】

【解析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得y=（x﹣3），当该直线与直线BC相交时，||取得最大值．

【详解】

∵中，，，

∴∴b=10，∴B=90°；

以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，

如图所示，

∵AB=5，AC=10，∠BAC=60°，

∴A（0，0），B（5，0），C（5，5），

设点P为（x，y），0≤x≤5，0≤y≤，

∵=﹣λ，

∴（x，y）=（5，0）﹣λ（5，5）=（3﹣2λ，﹣2λ），

∴，

∴y=（x﹣3），①

直线BC的方程为x=5，②，

联立①②，得，

此时||最大，

∴|AP|==．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．

10．【答案】

【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件求得满足的关系式，再根据的几何意义求解．

详解：由，得．

建立如图所示的平面直角坐标系，则．

设，

由，可得，

所以点C在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上．

故,

所以．

点睛：由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率．

11．【答案】

【解析】设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，用坐标表示，即可求出的值，进而得到答案。

【详解】

设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，，，则，，，

即，

则即，解得，，则.

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了向量在平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题。

12．【答案】

【解析】

建立直角坐标系，，

不妨设的起点均为坐标原点，终点分别为，

设点的坐标为，

则，

即，

故可得.

则终点的轨迹是以，半径为的圆上运动.

故点的纵坐标的最大值为.

又.

故答案为：.

13．【答案】7

【解析】分析：以为轴的正方向建立直角坐标系，设，然后表示出，然后可得答案.

详解：

以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：

设，

则

，当时取得最小值7

故答案为：7

14．【答案】

【解析】由结构特征,构造向量,，

设的夹角为，不共线,,

=，转化为求的最小值, 由，可得，转化求的最小值，即为与点连线的斜率最小值，即可得结果.

【详解】

设,，

设的夹角为,不共线,,

=，

  ①

设，（）,，①式表示点与单位圆（轴右侧）的点连线斜率,当与单位圆相切的时斜率最小为.

故答案为:

【点睛】

本题考查向量的灵活应用,困难在于如何引进向量,以及利用条件把问题转化为有关三角函数的最值,考查利用数形结合思想求最值,是一道技巧性强的难题.

15．【答案】0

【解析】分析：根据C点的坐标确定C点的轨迹方程，利用数形结合可得向量夹角的最大值，由数量积公式可知其最小值.

详解：设，直线

则，消参可得C的轨迹方程为，

即C点在圆心为,半径为的圆上，

过圆心做交于, 如图，

由点到直线距离公式可得，

（其中T为线段AB的中点）

由图可知，C运动到点，且Q与T重合时，，

所以的最小值为，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：作出C点所在轨迹的圆，直线，借助图象明显可知一般情况下向量的夹角为锐角，只有当C点在处，同时在图中位置时，向量的夹角最大且为直角，属于中档题.