北师大版 (2019)必修 第二册6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响课堂检测

【优编】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-1作业练习

一．填空题

1．若向量，满足，，，则________．

2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，沿着过C点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B落在矩形的左边AD上．设折痕所在的直线与AB交于M点，记翻折角∠BCM为，则tan的值是_________．

3．已知中，，点是线段上一动点，点是以点为圆心．为半径的圆上一动点，若，则的最大值为______.

4．设O是直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为______.

5．已知向量，，若，的方向是沿方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到.已知向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，则__________.

6．设，且，则代数式的最小值为______.

7．在平面中，已知|，点在上，若的最小值为4，则的最小值为___________.

8．已知平面向量，，，，满足，，，则的最大值为______.

9．已知正方形的边长为，若，则的值为________．

10．
已知梯形ABCD中，AB∥CD，且DC=2AB，若三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．

11．
已知是单位向量，。若向量满足________.

12．平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为_____ N．

13．一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______；

14．设平面上有四个互异的点，若，则的形状一定是_______.

15．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

因为，故，所以，

又，故.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】设顶点B对折后交AD于N，设，由题中关系可得，即可求出，进而由可得到答案。

【详解】

设顶点B对折后交AD于N，设，则，

，则，

故，即，解得，则.

【点睛】

本题考查了平面几何的翻折问题，考查了直角三角形在解决几何问题中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题。

3．【答案】

【解析】以点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，设，

得到圆的参数方程，表示出点坐标，再由，分别表示出，即可求出结果.

【详解】

因为中，

以点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，则，，

所以所在直线方程为，设，则,

又点是以点为圆心．为半径的圆上一动点，所以可设，

因为，所以，所以，

所以.

故答案为

【点睛】

本题主要考查向量在几何中的应用，结合题意表示出，再由三角函数的性质以及向量的坐标运算，即可求出结果，属于常考题型.

4．【答案】

【解析】利用向量共线的推论表达出再求和即可.

详解：由题,

故

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了向量共线定理与等差数列求和的运用,属于中等题型.

5．【答案】

【解析】由题意可得经过一次变换得到，相当于一次旋转变换，利用矩阵变换得出，分别求得三次变换后得到的向量坐标，再由，可得向量经过2019次变换后得到，，即可得到所求值．

详解：解：由题意可得经过一次变换得到，相当于一次旋转变换

得，

而向量经过一次变换后得到，

即为，可得向量，

向量经过一次变换后得到，

即有，可得向量，

向量经过一次变换后得到，

即为，可得向量，

而，

可得再经过三次变换后得到的向量坐标为，

则向量经过2019次变换后得到，，，

可得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量的新定义变换的理解和运用，注意运用矩阵变换得到规律是解题的关键，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．

6．【答案】

【解析】由结构特征,构造向量,，

设的夹角为，不共线,,

=，转化为求的最小值, 由，可得，转化求的最小值，即为与点连线的斜率最小值，即可得结果.

【详解】

设,，

设的夹角为,不共线,,

=，

  ①

设，（）,，①式表示点与单位圆（轴右侧）的点连线斜率,当与单位圆相切的时斜率最小为.

故答案为:

【点睛】

本题考查向量的灵活应用,困难在于如何引进向量,以及利用条件把问题转化为有关三角函数的最值,考查利用数形结合思想求最值,是一道技巧性强的难题.

7．【答案】

【解析】分析：设，可得三点共线，当取最小值时，，然后利用条件和余弦定理可得，设，然后用表示出，然后可得答案.

详解：如图，

设

则三点共线，

当取最小值时，，

在和中，，

在中，

设，则

当时，的最小值为，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：三点共线，若，则，反之也成立.

8．【答案】

【解析】设，

则

设，，不妨设，，

，，，即为的重心.

则，

点位于圆上或圆内，故当在射线与圆周交点时，最大，即最大时.

由得，.

当且仅当时，取到最大值.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：由题可得，由可求解.

详解：正方形中，，，，

.

故答案为：.

10．【答案】(2，4)

【解析】∵在梯形ABCD中，DC=2AB，AB∥CD，∴.设点D的坐标为(x，y)，则=(4？x，2？y)，=(1，？1)，∴(4？x，2？y)=2(1，？1)，即(4？x，2？y)=(2，？2)，∴，解得，故点D的坐标为(2，4)．

11．【答案】

【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件求得满足的关系式，再根据的几何意义求解．

详解：由，得．

建立如图所示的平面直角坐标系，则．

设，

由，可得，

所以点C在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上．

故,

所以．

点睛：由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率．

12．【答案】

【解析】根据力的平衡有，两边平方后可求．

【详解】

由题设有，故，

所以，故，填．

【点睛】

向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.

13．【答案】15海里/小时

【解析】分析：先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度.

详解：设船的实际速度为，船速，水的流速，

则海里/小时，

∴海里/小时.

故答案为：15海里/小时

14．【答案】等腰三角形

【解析】根据的前式，可将进行拆解，利用向量减法公式进行化简即可

【详解】

∵

，

∴，∴为等腰三角形.

【点睛】

,在表示方法中O点可进行任意代换，灵活运用，可将向量问题转化为数值问题

15．【答案】0     

【解析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.

详解：正方形ABCD的边长为1，可得，，

？0，

要使的最小，只需要

，此时只需要取

此时

等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．

比如

则.

点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．

【点睛】

对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想．数形结合思想.