2021-2022学年北京市清华附中高一（下）统练数学试卷（六）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市清华附中高一（下）统练数学试卷（六）（含答案解析），共12页。试卷主要包含了 已知向量a=，b=等内容，欢迎下载使用。

A. {0,2}B. {0,2,4}C. {x|x≤3}D. {x|0≤x≤3}
2. 已知向量a=(m,2)，b=(2,−1).若a//b，则m的值为( )
A. 4B. 1C. −4D. −1
3. 命题“∃x>0，使得2x≥1”的否定为( )
A. ∃x>0，使得2x<1B. ∃x≤0，使得2x≥1
C. ∀x>0，都有2x<1D. ∀x≤0，都有2x<1
4. 设a，b∈R，且aA. 1a<1bB. ba>abC. a+b2>abD. ba+ab>2
5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A. y=2lnxB. y=|x3|C. y=x−1xD. y=csx
6. 已知函数f(x)=lnx+x−4，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an(n=1,2,3,…)，则a2020=( )
A. 0B. 1C. 2020D. 2021
8. 已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t(t>0)个单位长度，得到函数y=f(x)的图象．若函数y=f(x)为奇函数，则t的最小值是( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
9. 设x，y是实数，则“0A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
10. 对于函数f(x)，若集合{x|x>0,f(x)=f(−x)}中恰有k个元素，则称函数f(x)是“k阶准偶函数”．若函数f(x)=(12)x,x≤ax2,x>a是“2阶准偶函数”，则a的取值范围是( )
A. (−∞,0)
B. [0,2)
C. [0,4)
D. [2,4)
11. 若复数z=(1+i)i，则|z|=__________.
12. 已知tan(θ−π4)=2，则tanθ=__________.
13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=9，公差d=−2，则Sn的最大值为______.
14. 在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．
①若BD=xBA+yBC，则x+y=__________；
②BD⋅BM=__________.
15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子的半径为3m，它以1rad/s的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H(单位：m)，轮子旋转时间为t(单位：s).当t=0时，点P在轮子的最高点处．
①当点P第一次入水时，t=__________；
②当t=t0时，函数H(t)的瞬时变化率取得最大值，则t0的最小值是__________.
16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=6,A=2π3.再在条件(1)、条件(2)、条件(3)中选择1个作为已知，使得△ABC存在并且唯一．
(Ⅰ)求c的值；
(Ⅱ)求△ABC的面积．
条件(1)B=π4；条件(2)a=3；条件(3)a=3.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=lg3a1+lg3a2+…+lg3an，求数列{1bn}的前n项和．
18. 已知函数f(x)=(ax−1)e−x.
(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求证：函数f(x)存在最小值．
19. 对于有限数列A：a1，a2，…，an(n≥3)，如果ai(Ⅰ)判断数列A1：2，3，2，3和A2：3，4，5，6是否具有性质P，并说明理由；
(Ⅱ)求证：若数列A：a1，a2，…，an具有性质P，则对任意互不相等的i，j，k∈{1,2,…，n}，有ai+aj>ak；
(Ⅲ)设数列A：a1，a2，…，a2022具有性质P，每一项均为整数，ai≠ai+1(i=1,2,…，2021)，求a1+a2+…+a2022的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
可以求出集合A，再进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵A={x|x≤3}，B={0,2,4}，
∴A∩B={0,2}.
故选：A.

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的共线定理应用问题，属于基础题．
根据平面向量共线定理的坐标表示，列方程求出m的值．
【解答】
解：向量a=(m,2)，b=(2,−1)，
若a//b，则−1×m−2×2=0，
解得m=−4；
所以m的值为−4.
故选：C.

3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查存在量词命题的否定，属于简单题.
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结论．
【解答】
解：命题为存在量词命题，
则命题“∃x>0，使得2x≥1”的否定为“∀x>0，都有2x<1”，
故选：C.

4.【答案】D
【解析】解：由a1b，故A错误；
ba−ab=b2−a2ab=(b−a)(b+a)ab，由a0，b+a<0，ab>0，
∴ba−ab<0，即ba由a−b>0，∴−a−b>2ab，即a+b2<−ab，故C错误；
由a0，ab>0，∴ba+ab>2ba⋅ab=2，故D正确．
故选：D.
由不等式的基本性质，基本不等式逐一判断即可．
本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：对于A，函数y=2lnx的定义域为(0,+∞)，是非奇非偶函数，不满足题意；
对于B，y=|x3|=x3,x≥0−x3,x<0是定义域R上的偶函数，且在区间(0,+∞)上为增函数．满足题意；
对于C，y=x−1x为奇函数，不满足题意；
对于D，y=csx为偶函数，但在区间(0,+∞)上不是单调函数，不满足题意．
故选：B.
根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．
本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断问题，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lnx+x−4，是连续增函数，又f(2)=ln2+2−4<0，
f(3)=ln3+3−4>0，
可得f(2)f(3)<0，由零点判定定理可知：函数f(x)=lnx+x−4包含零点的区间是：(2,3).
故选：C.
判断函数的单调性，求出f(2)，f(3)函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．
本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意的单调性的判断．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推式，属于基础题．
运用Sn与an的关系求解.
【解答】
因为Sn=an，
所以Sn+1=an+1，
所以an+1=Sn+1−Sn=an+1−an，
所以an=0，
所以a2020=0.
故选：A.

8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角函数图象与性质，奇函数的定义，图象的平移，属于基础题．由图象可得x=π6时，函数y=Asin(ωx+φ)的函数值为0，再利用平移的知识可以得出t的最小值．
【解答】
解：由图象可得x=−π6+π22=π6时，函数y=Asin(ωx+φ)的函数值为0，结合图象可知，函数向左平移π6个单位，函数y=f(x)为奇函数.即tmin=π6.
故选：B.

9.【答案】A
【解析】解：由0由lg2x+lg2y<0，可得lg2x<−lg2y⇒x<1y，不能够推出“0∴“0故选：A.
利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题属于新定义题，准确理解“k阶准偶函数”概念是解题关键，属于中档题．
根据新定义，分类讨论，即可求出a的取值范围．
【解答】
解：函数f(x)是“2阶准偶函数”，则集合{x|x>0,f(x)=f(−x)}中恰有2个元素，
当a=0时，f(x)=(12)x,x≤0x2,x>0，则(12)−x=x2，即x2=2x，解得x=2或x=4，此时函数f(x)是“2阶准偶函数”，
当a>0，如图所示
f(−x)=(12)−x，由于(12)x=(12)−x，当x>0无解，
所以(12)−x=x2，即x2=2x，解得x=2或x=4，
此时函数f(x)是“2阶准偶函数”，则a<2，即0当a<0时，如图所示
由于x2=(−x)2有无数个解，故函数f(x)不是“2阶准偶函数”，
综上所述a的取值范围为[0,2).
故选B.

11.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查复数的模以及复数的乘法运算，考查计算能力．
利用复数的乘法化简z，利用复数的模的计算公式求解即可．
【解答】
解：∵z=(1+i)i=−1+i，
∴|z|=(−1)2+12=2.
故答案为：2.

12.【答案】−3
【解析】
【分析】
本题考查两角和与差的正切函数公式的应用，是基础题．
直接利用两角和与差的正切函数，化简求解即可．
【解答】
解：tan(θ−π4)=2，
可得tanθ−11+tanθ=2，解得tanθ=−3.
故答案为−3.

13.【答案】25
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的最大值的求法，考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出Sn=−n2+10n=−(n−5)2+25，由此能求出n=5时，Sn取最大值．
【解答】
解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=9，公差d=−2，
∴Sn=9n+n(n−1)2×(−2)=−n2+10n=−(n−5)2+25，
∴n=5时，Sn取最大值为25.
故答案为：25.
14.【答案】34
1

【解析】解：①∵M是BC的中点，∴BM=12BC，
∵D是AM的中点，∴BD=12BA+12BM=12BA+14BC，
∴x=12，y=14，故x+y=34.
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，且BM=1，
∴BD⋅BM=BD⋅BM⋅cs∠DBM=BM2=1.
故答案为：34；1.
①用BA,BC表示出BD，得出x，y的值即可求出x+y；
②根据平面向量数量积的定义计算．
本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于基础题．
15.【答案】2π3
3π2

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；
由题意可得，点P的运动轨迹方程为：
y=3sin(ωt+π2)=3csωt=3cst；
令3cst=−1.5，解得cst=−12，
所以t=2π3+2kπ，k∈Z；
当k=0时，t=2π3；
所以点P第一次入水时，t=2π3.
点P到船底的距离为：
H(t)=3cst+4，
求导数为H′(t)=−3sint，
函数H(t)的瞬时变化率取得最大值时，
t=3π2+2kπ，k∈Z，
t0的最小值是3π2.
故答案为：2π3，3π2.
建立平面直角坐标系，写出点P的运动轨迹方程，由此求出点P第一次入水时t的值．
写出点P到船底的距离关系式H(t)，利用导数H′(t)求出函数H(t)的瞬时变化率取得最大值时t0的最小值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)若选(1)B=π4，
∵b=6,A=2π3，∴C=π12，
∴sinC=sinπ12=sin(π4−π6)=22×32−22×12=6−24，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC得，c=bsinCsinB=6×6−2422=32−62；
若选(2)a=3，
∵b=6,A=2π3，∴csA=b2+c2−a22bc=−12，
∴6+c2−326c=−12，
整理得c2+6c+3=0，此方程无解，即这样的三角形不存在；
若选(3)a=3，
∵b=6,A=2π3，∴csA=b2+c2−a22bc=−12，
∴6+c2−926c=−12，
整理得c2+6c−3=0，
解得c=32−62或c=−32−62(舍去)，
∴c=32−62.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S△ABC=12bcsinA=12×6×32−62×32=9−334.
【解析】(Ⅰ)若选(1)B=π4，则C=π12，利用两角差的正弦公式求出sinC=6−24，再由正弦定理即可求出c；若选(2)a=3，由余弦定理可得c2+6c+3=0，此方程无解，即这样的三角形不存在；若选(3)a=3，由余弦定理可得c2+6c−3=0，解出c的值即可．
(Ⅱ)利用三角形面积公式求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角形面积公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6，得a32=9a42，
所以q2=19.由条件可知q>0，故q=13.
由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，得a1=13.
故数列{an}的通项公式为an=13n.
(2)bn=lg3a1+lg3a2+⋯+lg3an=−(1+2+⋯+n)=−n(n+1)2，
故1bn=−2n(n+1)=−2(1n−1n+1)，
∴1b1+1b2+⋯+1bn=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=−2nn+1.
【解析】(1)由a32=9a2a6，q>0，求出q=13.由2a1+3a2=1，得a1=13.由此能求出数列{an}的通项公式．
(2)求出bn=lg3a1+lg3a2+⋯+lg3an=−(1+2+⋯+n)=−n(n+1)2，从而1bn=−2n(n+1)=−2(1n−1n+1)，由此能求出数列{1bn}的前n项和．
本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列、裂项地求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=(x−1)e−x，则f′(x)=(12x−x+1)e−x，
所以f′(1)=12e又f(1)=0，所以切线方程为y=12ex−12e.
(2)证明：因为f(x)=(ax−1)e−x，x∈[0,+∞),
∴f′(x)=−e−x2x(2ax−2x−a)，
①当a<0时，令g(x)=2ax−2x−a.则g′(x)=2a−1x<0.
所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，且g(0)=−a>0，g(1)=a−2<0，所以存在x1∈(0,1)，使得g(x1)=0，
即当0x1时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调通增，所以f(x)min=f(x1).
②当a≥0时，因为x≥0，所以f(x)=(ax−1)e−x≥−e−x≥−1恒成立，且当x=0时等号成立，
所以f(x)min=f(0)=−1，
综上可得函数f(x)存在最小值．
【解析】(Ⅰ)求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而得到切线方程．
(Ⅱ)首先求出导函数f′(x)，当a<0时，令g(x)=2ax−2x−a，利用导数说明g(x)的单调性，结合零点存在性定理即可得到f(x)的单调性，即可求出函数的最小值，
当a>0时可得f(x)=(x−1)e−x≥e−x≥−1，即可求出f(x)的最小值，从而得证．
该题考查了如何利用导数研究函数的最值，较为注重对问题的转换，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，对于数列A1：2，3，2，3，其最大项为3，有3<2+3+2+34−1=103，具有性质P；
对于A2：3，4，5，6，其最大项为6，而6=3+4+5+63，不具有性质P；
(Ⅱ)证明：用反证法证明：假设对任意互不相等的i，j，k∈{1,2,…，n}，有ai+aj≤ak；
设S=a1+a2+……+an，S′=Sn−(ai+aj)，
又由数列A：a1，a2，…，an具有性质P，即任意的ai则S=S′+(ai+aj)<(n−2)Sn−1+ak<(n−2)Sn−1+Sn−1故假设ai+aj≤ak不成立，必有ai+aj>ak；
(Ⅲ)根据题意，数列A：a1，a2，…，a2022具有性质P，其中最大项为M，
设S=a1+a2+……+a2022，则有ai又由数列A中每一项均为整数，则2021ai≤S−1，变形可得ai≤S−12021，
又由ai≠ai+1(i=1,2,…，2021)，则数列A中最多有1011项能等于M，其余项都≤M−1，
故S≤1011M+1011(M−1)=2022M−1011≤2022×S−12021−1011，
变形可得：S≥1011×2023=2045253，
故求a1+a2+…+a2022的最小值为2045253.
【解析】(Ⅰ)根据题意，验证两个数列是否具有性质P，即可得答案；
(Ⅱ)根据题意，用反证法证明：假设原结论不成立，设S=a1+a2+……+an，S′=Sn−(ai+aj)，分析可得S=S′+(ai+aj)<(n−2)Sn−1+ak<(n−2)Sn−1+Sn−1(Ⅲ)根据题意，设数列A中最大项为M，再设S=a1+a2+……+a2022，由性质P分析可得ai≤S−12021，进而可得数列A中最多有1011项能等于M，其余项都≤M−1，据此分析可得关于S的不等式，解可得答案．
本题考查数列的应用，涉及数列和的最值，属于难题．