2023年中考数学第一轮重难点题型练习 题型九 几何探究题（无答案）

题型九　几何探究题

类型一　非动点探究题

1. (2022海南)如图①，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE.

(1)求证：△DCE≌△DAF；

(2)如图②， 连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC.

①求证： HD＝HB ；

②若DK·HC＝，求HE的长．

第1题图

2. (2022常德)如图①，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT.

(1)求证：BN＝CN；

(2)在图①中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图②.

①求证：△TOM∽△AOC；

②设TM与AC相交于点P，求证：PD∥CM，PD＝CM.

第2题图

3. (2022安徽)如图①，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB.作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF.

(1)求证：△ABF≌△EAD；

(2)如图②，若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；

(3)如图③，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

第3题图

类型二　动点探究题

4. (2022绍兴)如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°.连接EF，作点D关于直线EF的对称点P.

(1)若EF⊥BD，求DF的长．

(2)若PE⊥BD，求DF的长．

(3)直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．

第4题图

5. (2022广元)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点(含端点A、B)，过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF.

(1)求证：△ABF∽△CBE；

(2)如图②，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN.求∠PMN的度数及的值；

(3)在(2)的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．

第5题图

6. (2022铜仁)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6 cm，AC＝12 cm.点P是CA边上的一动点，点P从点C出发以每秒2 cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等边△CPQ(点B、点Q在AC同侧)，设点P运动的时间为x秒，△ABC与△CPQ重叠部分的面积为S.

(1)当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示，不要求写x的取值范围)；

(2)当点Q落在AB上时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值；

(3)当点Q落在△ABC外部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S(用含x的代数式表示)．

7. (2022长春)如图，在△ABC中，∠C＝90°， AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连接PD.作点A关于直线PD的对称点A′，连接A′D、A′A.设点P的运动时间为t秒．

(1)线段AD的长为________；

(2)用含t的代数式表示线段BP的长；

(3)当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；

(4)当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．

第7题图

8. (2022北部湾经济区)如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14, AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点(不与点A，D重合)，在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE.

(1)当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；

(2)设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(3)如图②，点P(a，b)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．

第8题图

9. (2020河北)如图①和②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝.点K在AC边上，点M，N分别在AB, BC上，且AM＝CN＝2，点P从点M出发沿折线MB－BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B.

(1)当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；

(2)若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分时，求MP的长；

(3)设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示)；

(4)在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界)，扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．

第9题图

类型三　平移探究题

10. (2020嘉兴)在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图①)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3 cm，AC＝DF＝4 cm，并进行如下研究活动．

活动一：将图①中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD(如图②)，当点F与点C重合时停止平移．

【思考】图②中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由；

【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图③)，求AF的长；

第10题图

活动二：在图③中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连接OB，OE(如图④)．

【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．

第10题图④

11. (2022天津)在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝ BA，顶点A(4，0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(－，0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B.

(1)如图①，求点B的坐标；

(2)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S.

①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

②当≤t≤时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．

类型四　旋转探究题

12. (2022通辽)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(OA<OM<OA)，∠AOB＝∠MON＝90°.

(1)如图①，连接AM，BN，求证：AM＝BN；

(2)将△MON绕点O顺时针旋转．

①如图②，当点M恰好在AB边上时，

求证：AM2＋BM2＝2OM2；

②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．

第12题图

13. (2022本溪辽阳葫芦岛)在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP.

(1)如图①，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；

(2)如图②，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；

(3)当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．

第13题图

14. (2022成都)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′.

(1)如图①，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；

(2)如图②，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；

(3)如图③，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．

第14题图

15. (2022嘉兴)小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α≤90°)，得到矩形AB′C′D′，连接BD.

【探究1】如图①，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上，若AB＝1，求BC的长；

【探究2】如图②，连接AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M，线段D′M与DM相等吗？请说明理由；

【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N(如图③)，发现线段DN, MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

16. (2022宜昌)如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F.将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α (0°<α<90°)，得到四边形CB′E′F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K.E′F′ 所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O.

(1)如图①，求证：四边形BEFC是正方形；

(2)如图②，当点Q和点D重合时．

①求证：GC＝DC；

②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；

(3)如图③，若BM∥F′B′交GP于点M，tanG＝，求的值．

第16题图

17. (2022河北)在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α(α>0°)到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．

论证　如图①，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；

发现　当旋转角α＝60°时，∠ADC 的度数可能是多少？

尝试　取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；

拓展　①如图②，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长(用含d的式子表示)；

②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．

18. (2022重庆B卷)在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF.

(1)将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG.

①如图①，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；

②如图②，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE＋BH＝BF；

(2)如图③，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP＋MP最小时，直接写出△DPN的面积．

第18题图

类型五　折叠探究题

19. (2022临沂)如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC.

(1)求证：AG＝GH；

(2)若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；

(3)当点E在BC边上(端点除外)运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

20. (2022长春)实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝________度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝________度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

(1)设AM与NF的交点为点P.求证：△ANP≌△FNE；

(2)若AB＝，则线段AP的长为________．

第20题图

21. (2022菏泽)在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．

(1)如图①，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；

(2)如图②，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；

(3)当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

22. (2022山西)综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF, BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；

独立思考：(1)请解答老师提出的问题；

实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；

问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5, BC＝2，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

第22题图

23. (2022邵阳)如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′.

(1)如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′；

(2)如图②，若AB＝AC ，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值；

(3)如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′.若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

类型六　类比探究题

24. (2022武汉)问题提出　如图①，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC.点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？

问题探究　(1)先将问题特殊化：如图②，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；

(2)再探究一般情形：如图①，当点D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立．

问题拓展　(3)如图③，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC(k是常数)，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

第24题图

25. (2022达州)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

(1)如图①，在正方形ABCD中，点E, F分别是AB, AD上的两点，连接DE, CF，且DE⊥CF，则的值为________；

(2)如图②，在矩形ABCD中，AD＝7, CD＝4, 点E是AD上的一点，连接CE, BD，且CE⊥BD，则的值为________；

【类比探究】

(3)如图③，在四边形ABCD中， ∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE·AB＝CF·AD；

第25题图

【拓展延伸】

(4)如图④，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9, tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E, F分别在边AB, AD上，连接DE, CF，且DE⊥CF.

①求的值；

②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．

第25题图④

26. (2022赤峰)数学课堂上，有这样一道探究题，如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n, ∠BAC＝α(0°＜α＜180°)，点P为平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD，AP，点E，F分别为BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m，n，α的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1)填空：

【问题发现】

小明研究了α＝60°时，如图①，求出了的值和β的度数分别为＝________，β＝________；

小红研究了α＝90°时，如图②，求出了的值和β的度数分别为＝________，β＝________；

【类比探究】

他们又共同探究了α＝120°时，如图③，也求出了的值和β的度数；

第26题图

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律：＝________(用含m，n的式子表示)；β＝ ________(用含n的式子表示)；

(2)求出α＝120°时的值和β的度数．

第26题图③

其他类型

27. (2022乐山)在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点(不与点B、C重合)，连接AD.

(1)如图①，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE、DE，则∠BDE＝________；

(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.

①在图②中补全图形；

②探究CD与BE的数量关系，并证明；

(3)如图③，若＝＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．

第27题图

28. (2022湖州)已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC，AP.

(1)如图①，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长；

(2)过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图②所示．若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP；

(3)如图③，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

第28题图

29. (2022资阳)已知， 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.

(1)如图①，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE.试探究BD与CE的关系；

(2)如图②，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE.若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；

(3)如图③，已知点D在BC下方，连接AD、BD、CD.若∠CBD＝30°，∠BAD>15°，AB2＝6，AD2＝4＋，求sin∠BCD的值．

第29题图