2023年中考数学第一轮重难点题型练习 题型六 二次函数性质综合题（无答案）

题型六　二次函数性质综合题

类型一　纯性质综合题

1. (2022北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a>0)上．

(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．

2. (2022杭州)在直角坐标系中，设函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a≠0)．

(1)若该函数的图象经过(1，0)和(2，1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

(2)写出一组a，b的值，使函数y＝ax2＋bx＋1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；

(3)已知a＝b＝1，当x＝p，q(p，q是实数，p≠q)时，该函数对应的函数值分别为P，Q.若p＋q＝2，求证：P＋Q>6.

3. (2022新疆)已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)．

(1)求抛物线的对称轴；

(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；

(3)设点P(a，y1)，Q(2，y2)在抛物线上，若y1>y2，求a的取值范围．

4. (2022嘉兴)已知二次函数y＝－x2＋6x－5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标；

(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)当t≤x≤t＋3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，求t的值．

5. (2022云南)已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c经过点(0，－2)，当x<－4时，y随x的增大而增大，当x>－4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴的交点(交点也称公共点)的横坐标，m＝.

(1)求b、c的值；

(2)求证：r4－2r2＋1＝60r2；

(3)以下结论：m<1，m＝1，m>1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．

6. (2022福建)已知抛物线y＝ax2＋ bx＋c与x轴只有一个公共点．

(1)若抛物线过点P(0，1)，求a＋b的最小值；

(2)已知点P1(－2，1)，P2(2，－1)，P3(2，1)中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线l：y＝kx＋1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝－1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C.

求证：△MAB与△MBC的面积相等．

类型二　交点问题

7. (2022乐山)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，且经过点A(0，)，B(2，－)．

(1)求b的值(用含a的代数式表示)；

(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；

(3)将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，若线段A′B′与抛物线y＝ax2＋bx＋c＋4a－1仅有一个交点，求a的取值范围．

8. (2022宜昌)在平面直角坐标系中，抛物线y1＝－(x＋4)(x－n)与x轴交于点A和点B(n，0)(n≥－4)，顶点坐标记为(h1，k1)．抛物线y2＝－(x＋2n)2－n2＋2n＋9的顶点坐标记为(h2，k2)．

(1)写出A点坐标；

(2)求k1，k2的值(用含n的代数式表示)；

(3)当－4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；

(4)经过点M(2n＋9，－5n2)和点N(2n，9－5n2)的直线与抛物线y1＝－(x＋4)(x－n)，y2＝－(x＋2n)2－n2＋2n＋9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．

第8题图

9. (2022长春)在平面直角坐标系中，抛物线y＝2(x－m)2＋2m (m为常数)的顶点为A.

(1)当m＝时，点A的坐标是________， 抛物线与y轴交点的坐标是________；

(2)若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；

(3)当x≤2m时，若函数y＝2(x－m)2＋2m的最小值为3，求m的值；

(4)分别过点P(4, 2)、Q (4，2－2m)作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N.当抛物线y＝2(x－m)2＋2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

第9题图

10. (2022江西)二次函数y＝x2－2mx的图象交x轴于原点O及点A.

感知特例

(1)当m＝1时，如图①，抛物线L：y＝x2－2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如下表：

①补全表格；

②在图①中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L′.

形成概念

我们发现形如(1)中的图象L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝－2时，图②中的抛物线L′是抛物线L的“孔像抛物线”．

第10题图①

探究问题

(2)①当m＝－1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为__________________________________________；

②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2－2mx的所有“孔像抛物线”L′都有唯一交点， 这条抛物线的解析式可能是________(填“y＝ax2＋bx＋c”或“y＝ax2＋bx”或“y＝ax2＋c”或“y＝ax2”，其中abc≠0)；

③若二次函数y＝x2－2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．

第10题图②

类型三　整点问题

11. (2019丽水)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝－(x－m)2＋m＋2的顶点．

(1)当m＝0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数．

(2)当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．

(3)若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点，求m的取值范围．

第11题图