2023年中考数学第一轮重难点题型练习 题型五 函数图象与性质探究题（无答案）

题型五　函数图象与性质探究题

类型一　新函数性质探究

1. (2022荆州)小爱同学学习二次函数后，对函数y＝－(|x|－1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

(1)观察探究：

①写出该函数的一条性质：________；

②方程－(|x|－1)2＝－1的解为：________；

③若方程－(|x|－1)2＝a有四个实数根，则a的取值范围是________．

(2)延伸思考：

将函数y＝－(|x|－1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图象？写出平移过程，并直接写出当2<y1≤3时，自变量x的取值范围．

第1题图

2. (2022自贡)函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝－的图象，并探究其性质．

列表如下：

(1)直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

第2题图

(2)观察函数y＝－的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当－2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；

②x＝2时，函数有最小值，最小值为－2；

③－1<x<1时，函数y的值随x的增大而减小．

其中正确的是________．(请写出所有正确命题的序号)

(3)结合图象，请直接写出不等式>x的解集______．

3. (2022呼和浩特)已知抛物线y＝ax2＋kx＋h(a>0)．

(1)通过配方可以将其化成顶点式为________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴________(填上方或下方)，即4ah－k2________0(填大于或小于)时，该抛物线与x轴必有两个交点；

(2)若抛物线上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方．请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；(为了便于说明，不妨设x1<x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图)

(3)利用二次函数(1)(2)结论，求证：当a>0，(a＋c)(a＋b＋c)<0时，(b－c)2>4a(a＋b＋c).

类型二　与几何图形结合的函数性质探究

4. (2022金华)背景：点A在反比例函数y＝(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图①，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

(1)求k的值．

(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图②，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．

①求这个“Z函数”的表达式．

②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可)．

③过点(3，2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

第4题图

5. (2022兰州)如图①，在△ABC中，AB＝6 cm, AC＝5 cm，∠CAB＝60°， 点D为AB的中点，线段AC上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到DF，过点F作FG⊥AB于点G，设A, E两点间的距离为x cm, F, G两点间的距离为y cm.

第5题图①

小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小军的探究过程，请补充完整．

(1)列表：下表的已知数据是根据A, E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：

请你通过计算补全表格；

(2)描点、连线：如图②，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出y关于x的图象；

第5题图②

(3)探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？_________________________________；

(4)解决问题：当AE＋FG＝2时，FG的长度大约是________cm. (保留两位小数)

6. (2022衢州)如图①，点C是半圆O的直径AB上一动点(不包括端点)，AB＝6 cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连接AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连接EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝x cm，EC＝y1 cm，EB＝y2 cm.请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图②中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.

(1)当x＝3时，y1＝________；

(2)在图②中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系；

(3)由(2)知“AC取某值时，有EC＝EB”，如图③，牛牛连接了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

第6题图

类型三　与实际问题结合的函数性质探究

7. (2022盐城)以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4.

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝2，在探究三边关系时，通过画图、度量和计算，收集到一组数据如下表： (单位：厘米)

(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC＋BC的数据进行分析：

①设BC＝x，AC＋BC＝y，以(x, y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；

②连线；

第7题图①

观察思考

(3)结合表中的数据以及所画的图象，猜想：当x＝________时， y最大；

(4)进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a(a为常数，a>0)，则BC＝________时，AC＋BC最大；

推理证明

(5)对(4)中的猜想进行证明．

问题1，在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；

问题2，补全观察思考中的两个猜想： (3) ______；(4)________；

问题3，证明上述(5)中的猜想；

问题4，图②中折线B－E－F－G－A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A、B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米，∠E＝∠F＝∠G＝ 90°，平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．