2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点01实数的有关概念和计算

考点01实数的有关概念和计算

考点总结

1．实数的分类：

按实数的定义分类：

  根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数

2.实数的有关概念

(1)数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴．

实数与数轴上的点一一对应．

(2)相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是0．若a，b互为相反数，则a＋b＝ 0 ．

 (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0 没有倒数．若a，b互为倒数，则ab＝1．

(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．

|a|＝

|a|是一个非负数，即|a|≥0．

(5)科学记数法：

科学记数法就是把一个数表示成 (1≤|a|＜10)的形式．

(6)近似数：

一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位．

3．零指数幂、负整数指数幂：

任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即a－p＝(a≠0，p是正整数)．

4.实数的运算

(1)运算律：

加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

乘法交换律：ab＝ba；

乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；

分配律：a(b＋c)＝ab＋ac．

(2)平方根、算术平方根、立方根：

正数a有两个平方根，记做±，0的平方根是0，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0．任何数都有立方根，a的立方根是3．

(3)实数的运算顺序：

实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．

5.实数的大小比较

(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的  大  ．

(2)差值比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ）

A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折

C．先提价，再降价 D．先提价，再降价

【答案】B

【分析】

设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．

【详解】

设原件为x元，

∵先打九五折，再打九五折，

∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，

∵先提价，再打六折，

∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，

∵先提价，再降价，

∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，

∵先提价，再降价，

∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，

∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x

故选B

2．（2021·浙江衢州·中考真题）2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000，其中数据1412000000用科学记数法表示为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．

【详解】

解：．

故选：C．

3．（2021·浙江杭州·中考真题）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录，数据10909用科学记数法可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数，据此解题．

【详解】

解：10909用科学记数法可表示为，

故选：B．

4．（2021·浙江宁波·中考真题）2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000千米．数320000000科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到的后面，所以

【详解】

解：

故选：

5．（2021·浙江温州·中考真题）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．

【详解】

解：，

故选：C．

6．（2021·浙江温州·中考真题）计算的结果是（    ）

A．4 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】

直接利用乘方公式计算即可．

【详解】

解：∵，

故选：A．

7．（2021·浙江绍兴·中考真题）第七次全国人口普查数据显示，绍兴市常住人口约为5 270 000人，这个数字5270 000用科学记数法可表示为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：将5270 000用科学记数法表示为：5.27×106．

故选：B．

8．（2021·浙江台州·中考真题）大小在和之间的整数有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】

先估算和的值，即可求解．

【详解】

解：∵，，

∴在和之间的整数只有2，这一个数，

故选：B．

9．（2021·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】

按照负整数的概念即可选取答案．

【详解】

解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数

故选D．

10．（2021·浙江绍兴·中考真题）实数，，，中，最小的数是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】

解：∵，

∴所给的实数中，最小的数是-3；

故选：C．

二、填空题

11．（2021·浙江宁波·中考真题）的绝对值是__________．

【答案】5

【分析】

根据绝对值的定义计算即可．

【详解】

解：|-5|=5，

故答案为：5．

12．（2021·浙江路桥·一模）对于实数，定义运算“”如下：．例如：，则不等式的解集为_______．

【答案】x≥-5

【分析】

直接根据题意写出不等式，然后进行求解即可．

【详解】

解：∵

∴

∴，解得x≥-5．

故答案为x≥-5．

13．（2021·浙江南浔·一模）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形．如图，已知是网格图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与面积相等的格点矩形的周长所有可能值是_________．

【答案】10或

【分析】

由图可得AB、BC、AC的长度，判定三角形ABC是直角三角形，在计算面积，再求格点矩形长和宽，再计算出周长.

【详解】

解：由题干可得：， , ，

即 , ,

令矩形的长为a（0＜a＜5），宽为b（0＜b＜5），即ab=6,

当a=1时，则b=6，不符合题意；

当a=2时，则b=3，符合题意，格点矩形的周长=2+2+3+3=10；

当a=3时，则b=2，符合题意，格点矩形的周长=2+2+3+3=10；

当a=4时，则b=1.5，不符合题意；

当a=时，则b=3，符合题意，格点矩形的周长=++3+3=8；

当a=5时，则b=1.2，不符合题意.

故答案为：10或．

14．（2021·浙江宁波·三模）若，则_______．

【答案】

【分析】

直接开立方求解即可．

【详解】

解：∵，

∴x=，

故答案为：．

15．（2021·浙江北仑·一模）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝_____．

【答案】9

【分析】

首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值．

【详解】

∵＜，

∴4＜＜5，

∵a＜＜b，

∴a＝4，b＝5，

∴a+b＝9，

故答案为：9．

三、解答题

16．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；

（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．

【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．

【分析】

（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；

（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．

【详解】

（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），

250-5×10=200（毫升），

答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；

（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），

160÷4+20=60（分钟），

答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．

17．（2021·浙江金华·中考真题）计算：．

【答案】1

【分析】

利用乘方的意义,二次根式的化简,特殊角的函数值,绝对值的化简,化简后合并计算即可

【详解】

解：原式

．

18．（2021·浙江温州·中考真题）（1）计算：．

（2）化简：．

【答案】（1）-6；（2）．

【分析】

（1）直接利用有理数乘法法则以及绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算再合并即可得出答案．

【详解】

解：（1）

；

（2）

．