2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点10函数与平面直角坐标系

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考点10函数与平面直角坐标系考点总结1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征：(1)各象限内点的坐标特征如图所示．(2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．(3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为(x，0)，在y轴上为(0，y)．若在第一、三象限的角平分线上，则x＝y；若在第二、四象限的角平分线上，则x＋y＝0．(4)坐标系内点的对称及平移：点P(x，y)关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称对称点的坐标(x，－y)(－x，y)(－x，－y)将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为(x－a，y)或(x＋a，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x，y＋b)或(x，y－b)．(5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：①平行于x轴的直线上，所有点的  纵  坐标相等．②平行于y轴的直线上，所有点的  横  坐标相等．2．函数与图象：(1)函数的定义：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．(2)函数自变量的取值范围：由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义．(3)函数的三种表示方法：①解析法；②列表法；③图象法．(4)函数图象的画法：①列表；②描点；③连线． 真题演练 一、单选题1．（2021·浙江舟山·一模）如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1），棋子“马”的坐标为（3，-1），则棋子“炮”的坐标为（   ）A．（1，1） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1）【答案】B【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．【详解】解：根据棋子“车”的坐标为（-2,1），建立如下平面直角坐标系：∴棋子“炮”的坐标为（2，1），故答案为：B．2．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象不存在“同号点”的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此分析判断即可．【详解】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数的图象在二四象限，不满足条件，
故选：C．3．（2021·浙江滨江·三模）以方程组的解为坐标，点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】此题可解出的、的值，然后根据、的值可以判断出该点在何象限内．【详解】解：，①②得，，解得，．把代入①得，，解得．，，根据各象限内点的坐标特点可知，点在平面直角坐标系中的第一象限．故选：A．4．（2021·浙江义乌·一模）在平面直角坐标系中，位于第三象限的点是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点坐标与象限的特征解题，各象限的点坐标的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，轴上点的特征是纵坐标为0，轴上点的坐标特征是横坐标为0．【详解】解：A.在轴上，故A错误；B.在第四象限，故B错误；C.在第三象限，故C正确；D.在第二象限，故D错误，故选：C．5．（2021·浙江杭州·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（　　）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，可得b＝．【详解】解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，∵∠AOD＝∠AMB＝90°，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴BM＝OA，∵A（，0），B（2，b），∴BM＝OA＝3，∴b＝．故选：C．6．（2021·浙江杭州·二模）已知点E（x0，yo），点F（x2．y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2020的坐标是（　　）A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）【答案】B【分析】根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…4，进而可得点P2020的坐标．【详解】解：∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1，∴，，解得x＝2，y＝﹣4，所以点P1（2，﹣4）；同理：P1关于点B的对称点P2，所以P2（﹣4，2）P2关于点C的对称点P3，所以P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），…，发现规律：每6个点一组为一个循环，∴2020÷6＝336…4，所以点P2020的坐标是（﹣2，﹣2）．故选：B．7．（2021·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，点，则点P不可能在（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据坐标平面内点的坐标特征逐项分析即可.【详解】A. 若点在第一象限，则有：    ，解之得m>1，∴点P可能在第一象限；B. 若点在第二象限，则有：    ，解之得不等式组无解，∴点P不可能在第二象限；C. 若点在第三象限 ，则有：   ，解之得m<1，∴点P可能在第三象限；D. 若点在第四象限，则有：，解之得0<m<1，∴点P可能在第四象限；故选B.8．（2021•阳谷县校级模拟）小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S（千米）与离校的时间t（分钟）之的关系的是（　　）A． B． C． D．【答案】解：∵小刘家距学校3千米，∴离校的距离随着时间的增大而增大，∵路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，∴中间有一段离家的距离不再增大，离校50分钟后离校的距离最大，即3千米．综合以上C符合，故选：C．9．（2021秋•下城区期末）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　）A．若点A在y轴上，则a＝3 B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1 C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2【答案】解：A．若点A在y轴上，则a+1＝0，解得a＝﹣1，故本选项错误；B．若点A在一三象限角平分线上，则a+1＝3﹣a，解得a＝1，故本选项正确；C．若点A到x轴的距离是3，则|3﹣a|＝3，解得a＝6或0，故本选项错误；D．若点A在第四象限，则a+1＞0，且3﹣a＜0，解得a＞3，故a的值不可以为﹣2；故选：B．10．（2021秋•市中区期末）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　）A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）【答案】解：∵点P位于第二象限，∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，∴点的坐标为（﹣3，5）．故选：D． 二、填空题11．（2021·浙江宁波·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．【答案】或【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点称为点的“倒数点”，∴，，∴点B不可能在坐标轴上；∵点A在函数的图像上，设点A为，则点B为，∵点C为，∴，①当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，∴点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；②当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，∴，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；故答案为：或．12．（2021·浙江苍南·模拟预测）如图，直线：交轴于点，为轴正半轴上一点，轴交直线于点，，交于点，记的面积为，的面积为，当时，的长为______．【答案】6【分析】设点B的坐标为，再表示出点点的坐标，求解的坐标，再根据可以得到然后即可求得点B的横坐标，从而可以得到OB的长．【详解】解：设点B的坐标为， ∵直线：， ∴当x=0时，y=b， 即点A的坐标为（0，b）， ∵ ∴ 即 ∴ 解得（舍去）， ∴OB=6， 故答案为：6．13．（2021·浙江金东·一模）如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为_____．【答案】（1，4）【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【详解】解： 如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），反射角等于入射角，等于45°，∵P从(0，3)出发，∴第一次反弹的碰触点为（3,0），第二次反弹的碰触点为（7,4），第三次反弹的碰触点为（8,3），第四次反弹的碰触点为（5,0），第五次反弹的碰触点为（1,4），第六次反弹的碰触点为（0,3），依次循环，∵2021÷6=336…5，∴当点P第2021次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4）．故答案为：（1，4）．14．（2021·浙江·杭州育才中学二模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（﹣3，3），点B在x轴上，若△OAB是直角三角形（O为原点），则线段AB上任意一点可表示为_______________．【答案】(-3，y)，(0≤y≤3)或(y-6，y)，(0≤y≤3)【分析】分两种情况：①当AB⊥OB时，②当AB⊥OA时，解答即可．【详解】分两种情况：①当AB⊥OB时，∠ABO=90º，此时AB=OB，点B的坐标是(-3，0)，∴∆ABO为等腰直角三角形，∵点P为线段AB上任意一点，∴P点的横坐标为-3，∴线段AB上任意一点可表示为(-3，y)，(0≤y≤3)；②当AB⊥OA时，∠OAB=90º，此时AB=OA，∆OAB为等腰直角三角形，点B的坐标是(-6，0)，设直线AB的解析式为y=k(x+b)(k≠0)，经过A点(-3，3)，代入y=k(x+b)得到3=k(-3+6)，解得：k=1，∴直线AB的解析式为：y=x+6，∴线段AB上任意一点可表示为(y-6，y)，(0≤y≤3)；综上：当∠ABO=90º，线段AB上任意一点可表示为(-3，y)，(0≤y≤3)；当∠OAB=90º，线段AB上任意一点可表示为(y-6，y)，(0≤y≤3)；故答案为：(-3，y)，(0≤y≤3)或(y-6，y)，(0≤y≤3)．15．（2021·浙江杭州·一模）不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数-4，-2，3，5．从盒子中随机抽取一个小球，数记为，再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为，则使得点在第四象限的概率为______．【答案】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，找出点在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中点在第四象限的结果数为1，所以使得点在第四象限的概率=．故答案为：． 三、解答题16．（2021·浙江鹿城·二模）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的平行四边形为整点平行四边形．如图，已知整点，，请在所给网格区域内按要求画以A，B，C，D为顶点的整点平行四边形．（1）在图1中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之和等于点D的横、纵坐标之和的3倍；（2）在图2中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之积等于点D的横、纵坐标之积的2倍．
 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）设点坐标为,点坐标为，根据已知条件，求出与的关系，从而求得点、点；（2）设点坐标为,点坐标为，根据已知条件，求出点之间的关系，从而求得点、点．【详解】解：（1）设点坐标为,点坐标为∵点C的横、纵坐标之和等于点D的横、纵坐标之和的3倍∴即令，解得点坐标为,点坐标为，在图中标记出格点，连接、、、即可；
 （2）设点坐标为,点坐标为∵C的横、纵坐标之积等于点D的横、纵坐标之积的2倍∴又∵A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形∴（以为边）解得令，解得∴点坐标为,点坐标为，在图中标记出格点，连接、、、即可；
17．（2021春•温州期中）如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C﹣A﹣D运动至终点D．设点P的运动路程为x（cm），△BCP的面积为y（cm2）．若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为　　．【分析】从图2知，AC＝5，AD＝2a，在△ABC中利用S△ABC＝AC×BH＝5×BH＝4a，求得BH＝，最后在Rt△HBC中，利用勾股定理即可求解．【答案】解：从图2知，AC＝5，AD＝2a，当点P在点A时，此时，y＝4a＝S△BCP＝S△ABC，此时，AB＝BC＝AD＝2a，即△ABC为等腰三角形，过点B作BH⊥AC于点H，则CH＝AH＝AC＝，在△ABC中，S△ABC＝AC×BH＝5×BH＝4a，解得BH＝，在Rt△HBC中，BC2＝BH2+CH2，即（2a）2＝（）2+（）2，解得a＝（舍去负值），故答案为．