2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点11一次函数的图象与性质

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考点11一次函数的图象与性质考点总结1．有关概念：一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．一次函数的表达式通常用待定系数法来求．2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过(0，0)，(1，k)两点的一条直线．k>0k<0直线经过第一、三象限直线经过第二、四象限y随x的增大而增大y随x的增大而减小3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过(0，b)，两点的一条直线． b>0b<0增减性k>0y随x的增大而增大k<0y随x的增大而减小4．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当b>0时，向上平移|b|个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)．5．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝. 真题演练 一、单选题1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车．比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（   ）A．15km B．16km C．44km D．45km【答案】A【分析】根据图象信息和已知条件，用待定系数法求出，，（），再根据追上时路程相等，求出答案．【详解】解：设，将（3,60）代入表达式，得：，解得：，则,当y=30km时，求得x=， 设，将（1,0），，代入表达式，得：，得：，∴，∴，，∵乙在途中休息了半小时，到达B地时用半小时，∴当时，设，将（2,30），代入表达式，得到：，得：，∴（），则当时，，解得：，∴,∴当乙再次追上甲时距离A地45km所以乙再次追上甲时距离地 故选：A．2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且（      ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化．【详解】解：点在直线上，，将上式代入中，得：，解得：，由，得：，（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变），故选：D．3．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象不存在“同号点”的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此分析判断即可．【详解】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数的图象在二四象限，不满足条件，
故选：C．4．（2021·浙江·翠苑中学二模）直角坐标系中，一次函数的图象过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】首先将（2，kb）点代入一次函数解析式，求出k与b的关系式，再求出一次函数y=kx+b（kb≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点坐标，表示出△ABO的面积S，再根据b≥4，去掉绝对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值．【详解】解：一次函数的图象过点，代入一次函数解析式得：，，，，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点坐标为：，，点的坐标为：，的面积为，；若，，，的最小值为：．故选：A．5．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据一次函数的性质可直接进行求解．【详解】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0，∴该函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．6．（2021·浙江余杭·二模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0），则函数图象可能是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），可判断经过x轴的负半轴，由k＞0可判断图象经过第一、二、三象限，综合分析即可．【详解】∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（﹣1，0），∴一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过x轴的负半轴．∵k＞0，∴y随x的增大而增大．∴一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过第一、二、三象限．∴函数图象可能是：A．故选：A．7．（2021·浙江永康·一模）永康市某公交车月乘车人数x（人）与月利润y（元）的变化关系如下表所示，如果每位乘客的公交票价和此公交车月支出费用是固定不变的，那么此公交车每月的支出费用是（    ）（注：月利润=月收入总额-月支出费用）x（人）…5001000150025003000…y（元）…7501500…A．2000元 B．3000元 C．3600元 D．4000元【答案】B【分析】根据表格可知乘车人数x（人）与月利润y（元）的一次函数变化关系，设每位乘客的公交票价为元，公交车每月的支出费用为b元，可得，把表格数据代入两组求出b即可解答．【详解】解： 设每位乘客的公交票价为元，公交车每月的支出费用为b元，则，依题意得： ，解得：，即此公交车每月的支出费用是3000元； 故选B．8．（2021·浙江萧山·一模）已知与成正比例，且当时，，则关于的函数图象经过（    ）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【分析】由y-3与x+5成正比例，可设y-3=k（x+5），整理得：y=kx+5k+3．把x=-2代入得不等式，可解得k＜-1，再判断5k+3的符号即可．【详解】解：∵y-3与x+5成正比例，∴设y-3=k（x+5），整理得：y=kx+5k+3．当x=-2时，y＜0，即-2k+5k+3＜0，整理得3k+3＜0，解得：k＜-1．∵k＜-1，∴5k+3＜-2，∴y=kx+5k+3的图象经过第二、三、四象限．故选：D．9．（2021·浙江·温州外国语学校三模）如图，已知Rt，90°，，分别为，上的点，且，记，，且，则的长为（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据题意可当，则有，即，此时点P、Q与点C重合，当时，则有，此时点P与点A重合，点Q与AB重合，进而可得AB=2，AC=4，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：∵，，，且，∴当，则有，即，∴点P、Q与点C重合，则AC=4，当时，则有，∴点P与点A重合，点Q与AB重合，即AB=2，∴在Rt中，；故选D．10．（2021·浙江新昌·一模）如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，分三种情况分析解答：当p在第一象限时，当p在第二象限时，当p在第三象限时．【详解】解：一次函数，令x=0，则y=3；令y=0，则0=2x+3，解得x=，∴A(0，3)，B(，0)，设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，当p在第一象限时，，∴，解得t=（负值舍去），∴2t+3=，∴P(，)；当p在第二象限时，∴=，解得t= -，∴2t+3=，∴P(-，)；当p在第三象限时，，∴=，解得t=（正值舍去），∴2t+3=，∴P(，)；综上所述，P点的坐标共3个，故选C． 二、填空题11．（2021·浙江·温州绣山中学三模）已知 y是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则a的值为____．x123y3a5【答案】【分析】把代入一次函数中，求得一次函数解析式，然后把代入一次函数解析式，即可求出a的值．【详解】解：∵y是关于x的一次函数，∴设一次函数解析式为：，把代入中得：，解得：，∴一次函数的解析式为：，把代入得：，故答案为：．12．（2021·浙江拱墅·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为_______________．【答案】【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机 W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]＝140x+12540，故答案为：W＝140x+12540．13．（2021·浙江桐乡·一模）如图，已知一次函数的图像分别与轴，轴相交于点，，是直线上一点，当时，点的坐标是______．【答案】或【分析】根据题意在函数图象上做出可能存在的点的位置，做出OD⊥AB于点D，利用勾股定理结合三角函数求出相应的，再设出点C坐标求解即可．【详解】与轴，轴相交于点，，∴A（5，0），B（0，），∴ ， ，∴，如图：作OD⊥AB于点D，∴，∴ ，∵，∴，∴，又∵点C在直线上，∴设C（t，），代入，解得：t=3或-1，∴点C坐标为或．
 故答案为：或14．（2021·浙江嵊州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点C（2，4），B为线段AC的中点，若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为___．【答案】．【分析】一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，用k、b的值表示点A和点B的坐标，根据B为线段AC的中点，求得点A和点B的坐标及k、b的值，可得一次函数解析式，根据点C坐标可得反比例函数解析式，延长ED交y轴于点F，设点E纵坐标为a，可得点E和点D坐标，根据S△ODE= S△OFE- S△OFD可求得关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可得到△ODE面积的最大值．【详解】解：对于一次函数y＝kx+b，当x=0时，y=b，∴B(0，b)，当y=0时，kx+b=0，解得x=，∴A(,0)，∵点C（2，4），B为线段AC的中点，∴点B纵坐标为2，∴B(0，2)，即b=2，∵点A与点C关于点B对称，∴点A横坐标为-2，∴A(-2,0)，即=-2，∴k=1，∴一次函数解析式为y=x+2，∵反比例函数y＝（m＞0）的图象过点C(2，4)，∴将点C(2，4)代入，得m=8，∴反比例函数y＝，延长ED交y轴于点F，设点E纵坐标为a，把y=a代入y＝，得x=，则E(,a)，把y=a代入y=x+2，得x+2=a，∴x=a-2，∴D(a-2,a)，∴S△ODE= S△OFE- S△OFD=，∵EF=，DF=a-2，OF=a，∴S△ODE==，∴当a=1时，S△ODE有最大值，最大值为．故答案为．15．（2021·浙江·温州绣山中学二模）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．C是线段AB上一点，于点D，于点E，，则点C的坐标为___________．【答案】【分析】根据题意易得四边形CDOE是矩形，设CD=x，则OD=2x，进而可得，然后代入一次函数解析式进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵∠AOB=90°，∴四边形CDOE是矩形，∴OE=CD，∵，∴，设CD=x，则OD=2x，∴点，代入一次函数得：，解得：，∴点C的坐标为；故答案为． 三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．x…0.300.801.602.403.204.004.805.60……2.012.983.463.332.832.111.270.38……5.604.953.952.962.061.240.570.10…（1）当时，＝          ．（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
 【答案】（1）3；（2）当x约等于2时，y1=y2；当0<x<2时，y1<y2；当 x>2时，y1>y2；（3）见解析
【分析】（1）根据圆的直径为6，半径为3可求；（2）按自变量由小到大的顺序描点并用平滑曲线连接即可得到所画图象，两图象有交点，过此交点作x轴的垂线，垂足表示的数即为自变量x的值，找到此值，即可比较两函数值的大小；（3）在（2）的基础上，取AC=2，借助于勾股定理、相似三角形等知识，分别计算EC和EB，即可得出结论的正确性．【详解】解（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，此时，y1=OE=3．故答案为：3（2）函数y2的图象如图2所示，过两图象的交点M作x轴的垂线，垂足为N，则垂足N表示的数．∴从图象可以看出：当时，；当0<x<2时，；当x>2时，．（3）如图3，连结OD，过点E作于点H．由（2）的初步判断，当时，，即EC=EB．不妨取AC=x=2，此时，，．，∴在中，．设，则，．∵AD∥CE，∴∠DAC=∠ECO．又，∴．∴．∴．∴．两边平方并整理得，．解得，（不合题意，舍去）．∴OH=m=1．∴HC=OH+OC=1+1=2，．∴．又∵HB=OB-OH=3-1=2，∴．∴EC=EB．∴通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结论EC=EB成立．17．（2021·浙江嘉兴·中考真题）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”（m/s）与路程之间的观测数据（1）是关于的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
 【答案】（1）是的函数，理由见解析；（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s；（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．【分析】（1）根据函数的概念进行解答；（2）通过识图读取相关信息；（3）根据图像信息进行解答．【详解】解：（1）是的函数．在这个变化过程中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．18．（2021·浙江丽水·中考真题）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s关于t的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？【答案】（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2）；（3）．【分析】（1）根据图象直接得出结论即可；（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围．【详解】解：（1）由图象，得时，，答：工厂离目的地的路程为880千米．（2）设，将和分别代入表达式，得，解得，∴s关于t的函数表达式为．（3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米），，解得（小时）．当油箱中剩余油量为0升时，（千米），，解得（小时）．随t的增大而减小，的取值范围是．