淮安市洪泽实验校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份淮安市洪泽实验校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
淮安市洪泽实验校2021-2022学年八年级3月月考数学试题一、选择题（每题3分，共24分）1. 下列图形中，中心对称图形是（      ）A.  B.  C.  D. 2. 下列事件中,属于随机事件的是(       )A. 抛掷1个均匀的骰子,出现6点向上B. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球C. 任意三角形的内角和为180°D. 13人中至少有2人的生日在同一个月3. 下列调查中，适宜采用普查是（    ）A. 了解我省中学生的视力情况 B. 检测一批电灯泡的使用寿命C. 了解我校九（1）班学生校服尺寸情况 D. 调查《新闻联播》的收视率4. 中华汉字，源远流长．某校为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了其中200名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（　　）A. 这2000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体B. 每个学生是个体C. 200名学生是总体的一个样本D. 样本容量是20005. 为了记录一个病人的体温变化情况，应选择的统计图是（　　）A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图6. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（    ）A. 对角互补 B. 邻角互补 C. 对角相等 D. 内角和是360°7. 平行四边形的对角线长为x，y，一边长为14，则x，y的值可能是（　　）A. 8和16 B. 10和14 C. 18和10 D. 10和248. 如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（　　）A. S1＝S2 B. S1＞S2 C. S1＜S2 D. 无法确定二、填空题（每题3分，共24分）9. 为估计种子的发芽率，做了10次试验．每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是___________．10. 在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝_____°．11. 如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为 _____．12. 如图，两个正方形边长分别为2、6，图中阴影部分的面积为_____．13. 一组数据分成了五组，其中第三组的频数是10，频率为0.05，则这组数据共有____个数．14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE．若∠E＝65°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为 _____．15. 在中，，在上取，则的度数是_______．16. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（-10，0），C（0，3），点D是OA中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是 ______ ．三、解答题（本大题共9小题，计102分）17. 一个口袋中有5个黑球和若干个白球若干个，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回摇均，重复上述过程，共实验100次，其中75次摸到白球，于是可以估计袋中共有多少球？18. 如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°．（1）求∠C，∠B的度数；（2）若BC＝5，AB＝8，求CE的长．19. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了　   　名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　   　度；（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍学生人数．20. 如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应△A1B1C1．（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2）；则点B的对应点坐标是_____________（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出点A对应点的坐标___________（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为__________．21. 如图，把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断三角形HBC的形状，说明理由．22. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF//BE．请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．23. 如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接．求证：；若，，求四边形的面积．24. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．25. （1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边△ABE和等边△ACD，连接BD，CE，直接写出一对全等三角形：____________________试猜想BD与CE的大小关系，直接写出结论：________________________深入探究】（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝10cm，BC＝6cm，分别以AB、AC为边向外作正方形ABNE和正方形ACMD，连接BD，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为直角边在线段AC的左侧作等腰直角△ACD，直接写出BD的长是_________________________．26. 探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线　   　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN＝x，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　   　；（用含x的代数式表示出所有可能的结果）（3）深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
答案与解析一、选择题（每题3分，共24分）1. 下列图形中，中心对称图形是（      ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以这些图形不是中心对称图形．选项C绕正方形的对角线的交点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以选项C是中心对称图形．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟记定义是解答本题的关键．2. 下列事件中,属于随机事件的是(       )A. 抛掷1个均匀的骰子,出现6点向上B. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球C. 任意三角形的内角和为180°D. 13人中至少有2人的生日在同一个月【答案】A【解析】【分析】事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件．【详解】A. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上，是随机事件；B. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球，是不可能事件； C. 任意三角形的内角和为180°，是必然事件； D.13人中至少有2人的生日在同一个月，是必然事件； 故选A．【点睛】此题考查随机事件，解题关键在于掌握其定义.3. 下列调查中，适宜采用普查的是（    ）A. 了解我省中学生的视力情况 B. 检测一批电灯泡的使用寿命C. 了解我校九（1）班学生校服尺寸情况 D. 调查《新闻联播》的收视率【答案】C【解析】【分析】根据适合采用全面调查的方式的情况“当调查的对象个数较少，调查容易进行时，我们采用全面调查的方式进行，当调查的结果有特别要求时，或调查的结果有特殊意义时，采用全面调查的方式进行”进行解答即可得．【详解】解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，选项说法错误，不符合题意；B、检测一批电灯泡使用寿命，适合抽样调查，选项说法错误，不符合题意；C、了解我校九（1）班学生校服尺寸情况，适合用普查，选项说法正确，符合题意；D、调查《新闻联播》的收视率，适合用抽样调查，选项说法错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了抽样调查与全面调查，解题的关键是掌握适合采用全面调查的方式的情况．4. 中华汉字，源远流长．某校为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了其中200名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（　　）A. 这2000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体B. 每个学生个体C. 200名学生是总体的一个样本D. 样本容量是2000【答案】A【解析】【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义即可判断．【详解】A.这2000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体，故本选项正确；B.每个学生的大赛的成绩是个体，故本选项错误；C.200名学生的大赛的成绩是总体的一个样本，故本选项错误；D.样本容量是200，故本选项错误.故答案选:A.【点睛】本题考查的知识点是总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是熟练的掌握总体、个体、样本、样本容量的定义．5. 为了记录一个病人的体温变化情况，应选择的统计图是（　　）A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图【答案】C【解析】【分析】根据题意中的“变化情况”直接选择折线统计图．【详解】为了记录一个病人的体温变化情况，应选择的统计图是折线统计图，故选C．【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，折线统计图，频数直方图的概念，根据实际选择合适的统计图，根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键．折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况．6. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（    ）A. 对角互补 B. 邻角互补 C. 对角相等 D. 内角和是360°【答案】A【解析】【分析】利用平行四边形的性质逐个判断，即可得出结论．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，∴对角相等，不一定互补，故A符合题意，C不符合题意．AB∥CD，AD∥BC，∴邻角互补，故B不符合题意．任意四边形的内角和为360°，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．7. 平行四边形的对角线长为x，y，一边长为14，则x，y的值可能是（　　）A. 8和16 B. 10和14 C. 18和10 D. 10和24【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断．【详解】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：A、根据三角形的三边关系可知：4+8=12<14，不能构成三角形，故此选项错误；B、根据三角形的三边关系可知：5+7=12＜14，不能构成三角形，故此选项错误；C、根据三角形的三边关系可知：5+9=14，不能构成三角形，故此选项错误；D、5+12=17＞14，14-5=9<12，能构成三角形，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质．要掌握平行四边形的构造，四边形的两邻边和对角线构成三角形，解题的关键是利用三角形的三边关系来判断对角线的范围．8. 如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（　　）A. S1＝S2 B. S1＞S2 C. S1＜S2 D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】S1与S2有一公共边CA，又可证明 与 的高BF与DG相等，进而可得出结论．【详解】解：如图1，过B、D作分别、，四边形BCDE是平行四边形， ，、，， BF= DG，， S1=S2．故选：A．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及平行四边形对角线上一点所涉及的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9. 为估计种子的发芽率，做了10次试验．每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是___________．【答案】95%【解析】【分析】根据发芽率的意义，求出发芽的种子数占实验种子总数的百分比即可．【详解】解：（950×10）÷（1000×10）×100%＝95%，故答案为：95%．【点睛】本题考查频率估计概率，理解发芽率的意义是正确计算的前提．10. 在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝_____°．【答案】100【解析】【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．【详解】解：因为四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠D=160°，所以∠B＝∠D=160°÷2=80°，∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质定理11. 如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为 _____．【答案】(-2，2)【解析】【分析】根据题意得， A与D关于y轴对称，根据对称坐标特点，进而得出答案．【详解】正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2）点D的坐标为(-2，2)．【点睛】本题主要考查了坐标轴对称点的性质及正方形的性质，利用数形结合是解题的关键．12. 如图，两个正方形边长分别为2、6，图中阴影部分的面积为_____．【答案】14【解析】【分析】利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积即可得解．【详解】阴影部分的面积故答案为：14．【点睛】本题属于组合几何图形中不规则图形的面积问题，涉及正方形面积公式、三角形面积、整式的混合运算，按照运算顺序计算是解题的关键．13. 一组数据分成了五组，其中第三组的频数是10，频率为0.05，则这组数据共有____个数．【答案】200【解析】【详解】数据总和14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE．若∠E＝65°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为 _____．【答案】75°【解析】【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝50°，∠E＝∠ACB＝65°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，由此即可求解．【详解】解：∵将 △ABC 绕点A逆时针旋转50°得 △ADE ， ∠E=65° ，∴∠BAD＝50°，∠E＝∠ACB＝65°，∵AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠DAC＝90°－∠ACB＝25°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．故答案为：75°【点睛】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键．15. 在中，，在上取，则的度数是_______．【答案】【解析】【分析】利用平行四边形对角相等和邻角互补先求出∠BCD和∠D，再利用等边对等角的性质解答．【详解】解：在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，
∴∠BCD＝∠A＝130°，∠D＝180°−130°＝50°，
∵DE＝DC，∴，
∴∠ECB＝130°−65°＝65°．故答案为：65°．【点睛】本题主要考查平行四边形对角相等和邻角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．16. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（-10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是 ______ ．【答案】（-4，3），或（-1，3），或（-9，3）【解析】【详解】∵A（-10，0），C（0，3），四边形ABCO是矩形，∴ ,．∵点D是OA的中点，.当时，，．当时，，∴，，当时，，．当时，不合题意，故答案为：（-4，3），或（-1，3），或（-9，3）．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的概念，平面直角坐标系中点的坐标及分类的思想.涉及等腰三角形的计算，不管是角的计算还是腰的计算，一般都要进行分类讨论.像本题就要分四种情况进行计算．三、解答题（本大题共9小题，计102分）17. 一个口袋中有5个黑球和若干个白球若干个，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回摇均，重复上述过程，共实验100次，其中75次摸到白球，于是可以估计袋中共有多少球？【答案】20个【解析】【分析】根据频率稳定性定理，用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，进而得到白球的概率，即可得到等式得出答案．详解】解：设共有x个小球，解得 经检验，是所列方程的解答：共有20个小球．【点睛】本题主要考查的利用频率估计概率，得出求白球的概率公式是解题的关键．18. 如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°．（1）求∠C，∠B的度数；（2）若BC＝5，AB＝8，求CE的长．【答案】（1）∠C＝50°，∠B＝130°；（2）EC＝3【解析】【分析】（1）先由角平分线的定义求出∠DAB＝50°，然后根据平行四边形的性质求解即可；（2）通过证明∠DAE＝∠DEA，得到DE＝AD=5，然后可求CE的值；【详解】解：（1）∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°，∴∠DAB＝2∠DAE＝50°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB＝50°，∠B＝180°﹣50°＝130°；（2）∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∴∠BAE=∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，AD=BC=5，CD=AB=8，∴∠BAE=∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD=5∴CE＝CD﹣DE＝8﹣5＝3，【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．19. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了　   　名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　   　度；（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．【答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）126；（4）300人【解析】【分析】（1）由76÷38%，可得总人数；（2）结合扇形图，分别求出人数，再画图；（3）先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；（4）用社科类百分比×2500可得．【详解】解：（1）此次共调查的人数人；（2）生活类的人数人，小说类的人数为人，补全图形，如下图：（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，故答案为：126（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2500×12%=300人．故：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为300人.【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是从统计图获取信息．20. 如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2）；则点B的对应点坐标是_____________（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出点A对应点的坐标___________（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心坐标为__________．【答案】（1）见解析    （2）（-3，0）    （3）（2，3）    （4）（-1，-2）【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）先根据点A（-3，2）经过平移后得到点（-5，-2），得到△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，由此求解即可；（3）先根据题意画出旋转图形，然后根据得到的图形即可得到答案；（4）先得到，， ，，再由旋转中心在线段和线段的垂直平分线上，即可得到旋转中心的坐标为（-1，-2）．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：∵点A（-3，2）经过平移后得到点（-5，-2），∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，∴点B（-1，4）向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度的对应点坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）；【小问3详解】解：如图所示，是△ABC绕原点O顺时针旋转90度后的图形，∴点A对应点的坐标为（2，3）；故答案为：（2，3）；【小问4详解】解：如图所示，，， ，，∵旋转中心在线段和线段的垂直平分线上，∴旋转中心的坐标为（-1，-2）．故答案为：（-1，-2）．【点睛】本题主要考查了画旋转图形，平移作图，根据平移前后点的坐标判断平移方式，根据平移方式确定平移后点的坐标，找旋转中心等等，解题的关键是熟知平移相关知识．21. 如图，把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断三角形HBC的形状，说明理由．【答案】是等腰三角形，理由见解析．【解析】【分析】根据折叠，可以推出∠CBA'＝∠2，再根据平行线的性质，可以推出∠1＝∠CBA'，从而得到∠1＝∠2，于是可判断是等腰三角形．【详解】解：是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴CF∥BD，∴∠1＝∠CBA'，∵将长方形折叠，∴∠CBA'＝∠2，∴∠1＝∠2，∴是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及折叠的性质，熟练平行线的性质是解题的关键．22. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF//BE．请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．【答案】见详解【解析】【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF，从而得DF＝DE，DC＝DB．进而即可证明四边形BECF是平行四边形．【详解】解：四边形BECF是平行四边形，理由：连接BF、CE，∵CF∥BE，∴∠FCD＝∠EBD．∵D是BC的中点，∴CD＝BD．∵∠FDC＝∠EDB，∴△CDF≌△BDE（ASA）．∴DF＝DE，DC＝DB．∴四边形BECF是平行四边形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键．23. 如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接．求证：；若，，求四边形的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】【分析】（1）先求出∠C=135°，再根据，求出∠E=45°，所以，可证且，证明四边形是平行四边形即可；（2）四边形是平行四边形，求出，即可求解．【详解】证明：（1）∵，，∴，∴，∵，，∴．∵，∴且，四边形是平行四边形，∴．四边形是平行四边形，∴，∴，四边形的面积．【点睛】本题考查的是四边形的综合运用，熟练掌握平行和平行四边形的性质是解题的关键．24. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）只需要利用AAS证明两个三角形全等即可；（2）根据△ABE≌△CDF，得到AE=CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF，由此即可证明结论．【小问1详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS）；【小问2详解】解：∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质与判定条件．25. （1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等边△ABE和等边△ACD，连接BD，CE，直接写出一对全等三角形：____________________试猜想BD与CE的大小关系，直接写出结论：________________________【深入探究】（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝10cm，BC＝6cm，分别以AB、AC为边向外作正方形ABNE和正方形ACMD，连接BD，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为直角边在线段AC的左侧作等腰直角△ACD，直接写出BD的长是_________________________．【答案】（1）△EAC≌△BAD ，BD =CE；（2）；（3）【解析】【分析】（1）证明△EAC与△BAD全等即可得证；（2）连接EC、EB，通过证明△EAC与△BAD 全等，得到BD=CE．由勾股定理可得EC的长，从而可得BD长；（3）如图，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，通过证明△EAC与△BAD全等，从而得BD=CE，从而求得BD长．【详解】解：（1）△EAC≌△BAD ，BD =CE，证明如下：∵△ABE和△ACD都等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， ∴△EAC≌△BAD  (SAS) ，∴BD=CE；（2）如图，连接EC、EB． ∵正方形ABNE和正方形ACMD∴，AE=AB  ，∠BAE=，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD  (SAS) ，∴BD=CE．∵AE=AB=10cm，∴，∠ABE=∠AEB=45º．又∵∠ABC=45º，∴∠ABC+∠ABE=45º+45º=90º， ∴=，∴BD=CE=；（3）如图，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E， ∴∠BAE=90º，又∵∠ABC=45º，∴∠E=∠ABC=45º，∴AE=AB=10cm，∴．又∵∠ACD=∠ADC=45 º，∴∠BAE= ∠DAC=90º，∴∠BAE∠BAC=∠DAC∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD (SAS) ， ∴BD=CE．∵BC=6cm，∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质、勾股定理，解题的关键是能够利用边角边证明△EAC与△BAD全等．26. 探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线　   　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN＝x，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　   　；（用含x的代数式表示出所有可能的结果）（3）深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；【答案】（1）是；    （2）或者或者；    （3）18秒或12秒或9秒.【解析】【分析】（1）根据“巧分线”定义即可求解；（2）分3种情况，根据“巧分线”定义即可求解；（3）分3种情况，根据“巧分线”定义列出方程求解即可．【小问1详解】解：当OC是角∠AOB的平分线时，∵∠AOB=2∠AOC，∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”；故答案为：是；【小问2详解】解：分三种情况，①∵射线PQ是∠MPN的“巧分线”，∴∠MPN =2=x，∴= ，②∵射线PQ是∠MPN 的“巧分线”，∴∠QPN =2，∵∠QPN+∠QPM=x，∴3=x，∴=x，③∵射线PQ是∠MPN 的“巧分线”，∴2∠QPN =∠QPM ，∵∠QPN+∠QPM=x，∴3∠QPN =x，∴∠QPN =x，∴∠QPM =x，∴∠MPQ=或者或者；故答案为：或者或者；【小问3详解】解：依题意有三种情况：①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=10t， ，∴ ，解得t=18(秒)； ② 由∠NPQ=10t， ，∴，解得t=12(秒)； ③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=10t， ，∴，解得：t=9(秒)， 故t为18秒或12秒或9秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，“巧分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，理解“巧分线”的定义并分情况讨论是解题的关键．