泰州市姜堰区四校联考2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

泰州市姜堰区四校联考2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题（共6小题，每小题3分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（      ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列调查方式中适合的是（    ）

A. 要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式

B. 调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式

C. 环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式

D. 调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式

3. 已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（    ）

A. 125° B. 135° C. 145° D. 155°

4. 有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（    ）

A. 10个 B. 16个 C. 24个 D. 40个

5. 能判定四边形ABCD为平行四边形条件是(     )

A. AB∥CD，AD=BC B. ∠A=∠B，∠C=∠D

C. AB∥CD，∠C=∠A D. AB=AD，CB=CD

6. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（     ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（共10小题，每小题3分）

7. 为了了解某市八年级学生的体重情况,从中抽测了1000名学生的体重进行调查,在这次调查中,样本是_______________．

8. 一个袋中装有 3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球， 摸到_____（填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最大．

9. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第1－4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频数是______．

10. 综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：

那么这种黄豆种子发芽的概率约为__________（精确到0.01）

11. 已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．用反证法证明，第一步是假设_________．

12. 如图，在平行四边形中，AC、BD相交于点O，AC=20cm，BD=32cm，若的周长等于40cm，则_______________cm．

13. 如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，，垂足为E．若AC=8，BD=6，则DE的长为_______________．

14. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，且B′C′交AB于点E，若∠ABC=50°，则∠AEC的度数是______．

15. 如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分，若，，则面积为_______________．

16. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：

②四边形是菱形；

③重合时，；

④的面积的取值范围是

其中正确是_____（把正确结论的序号都填上）．

三、解答题(共102分)

17. （1）求值：；

（2）解方程：．

18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE ＝ CF，求证：四边形EBFD是平行四边形

19. 如图，E 是矩形 ABCD 边 BC 上一点，， ．将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 B 的对称点为．当点 恰好落在边CD 上时，求的长．

20. 某小区居民利用“健步行”卡站健步走活动，为了解居民的健步走情况，小文调查了部分居民某天行走的步数（单位：千步），并将样本数据整理绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图.

根据图表提供的信息，回答下列问题：

（1）小文此次调查样本容量是___________；

（2）行走步数为4~8千步的人数为_________人；

（3）行走步数为12~16千步的扇形圆心角为________°.

（4）如该小区有3000名居民，请估算一下该小区行走步数为0~4千步的人数.

21. 一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．

（1）估计摸到红球的概率是      ；

（2）如果袋中原有红球12个，求袋中原有几个球？

（3）又放入个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求的值．

22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上任意一点．

（1）如图①，只用无刻度的直尺在CD边上作出点F，使；

（2）如图②，用直尺和圆规作出菱形EFGH，使得点F、G、H分别在边BC、CD、DA上．（不写作法，只保留作图痕迹）

23. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，，，解答下列问题：

（1）将线段AB绕原点O顺时针方向旋转90°得到线段CD，再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF，画出线段CD和线段EF；

（2）如果线段AB旋转可以得到线段EF，则旋转中心P的坐标为____________________．

24. 如图，在中，点E、F 在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．

（1）求证：；

（2）求证：四边形ABCD是矩形．

25. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）证明：四边形是菱形；

（3）若，求菱形的面积．

26. 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．

（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；

（2）下列说法正确的有        ；（填写所有正确结论的序号）

①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；

③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．

（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．

①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；

②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．

答案与解析

一、选择题（共6小题，每小题3分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；

D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

2. 下列调查方式中适合的是（    ）

A. 要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式

B. 调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式

C. 环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式

D. 调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式

【答案】C

【解析】

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，逐项进行判断即可．

【详解】解：A.要了解一批节能灯的使用寿命，采用抽样调查，故A不符合题意；

B.调查你所在班级的同学的身高，应该采用普查，故B不符合题意；

C.环保部门调查沱江某段水域的水质情况，应该采用抽样调查，故C符合题意；

D.调查全市中学生每天的就寝时间，应该采用抽样调查，故D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

3. 已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（    ）

A. 125° B. 135° C. 145° D. 155°

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，

∵∠A+∠C=110°，

∴∠A=∠C=55°，

∴∠B=125°．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．

4. 有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（    ）

A. 10个 B. 16个 C. 24个 D. 40个

【答案】A

【解析】

【分析】设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以白球和红球的总数等于白球的频率列出等式，即可求出白球数．

【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得

解得．

所以袋中白球有10个．

故选：A．

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

5. 能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(     )

A. AB∥CD，AD=BC B. ∠A=∠B，∠C=∠D

C. AB∥CD，∠C=∠A D. AB=AD，CB=CD

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件结合平行四边形性质直接作出判断即可．

【详解】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，

∵∠C=∠A，

∴∠B+∠A=180°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选：C．

【点睛】本题主要考查平行四边形判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，此题基础题，比较简单．

6. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】过点D作于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．

【详解】解：过点D作于点E，连接BD，如图所示：

四边形为菱形，

∴，，

∵，

∴，

是等边三角形，

，

，

，

，

根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，

菱形的边长为6，

，

，

的最小值是，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．

二、填空题（共10小题，每小题3分）

7. 为了了解某市八年级学生的体重情况,从中抽测了1000名学生的体重进行调查,在这次调查中,样本是_______________．

【答案】1000名学生的体重

【解析】

【分析】总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体．

【详解】为了了解某市八年级学生的体重情况,从中抽测了1000名学生的体重进行调查,在这次调查中,样本是1000名学生的体重．

故答案为:1000名学生的体重．

【点睛】本题考查了总体､个体､样本,解题要分清具体问题中的总体､个体与样本,关键是明确考查的对象．

8. 一个袋中装有 3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球， 摸到_____（填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最大．

【答案】黄

【解析】

【分析】先求出个数最多的球的颜色，即可得摸出何种颜色球的可能性最大．

【详解】解：∵一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，

又∵，

∴黄球最多，

∴任意摸出一球， 摸到黄球的可能性最大．

故答案为：黄．

【点睛】本题主要考查可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目．

9. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第1－4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频数是______．

【答案】4

【解析】

【分析】用该班学生总数分别减去第1 - 4组的频数，即可求出第5组的频数．

【详解】某班40名学生的成绩被分为5组，第1 - 4组的频数分别为12、10、6、8，

∴第5组频数是：

40- (12+ 10+6+8)= 4，

故答案： 4．

【点睛】本题考查了频数，频数是指每个对象出现的次数，用到的知识点：各小组频数之和等于数据总和，一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率，频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．

10. 综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：

那么这种黄豆种子发芽的概率约为__________（精确到0.01）

【答案】0.95

【解析】

【分析】大量重复试验下种子发芽的频率可以估计种子发芽的概率，据此求解．

【详解】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.95附近，
故种子发芽的概率约为0.95．
故答案为：0.95．

【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．

11. 已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．用反证法证明，第一步是假设_________．

【答案】∠B≥90°

【解析】

【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．

【详解】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．

【点睛】考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

12. 如图，在平行四边形中，AC、BD相交于点O，AC=20cm，BD=32cm，若周长等于40cm，则_______________cm．

【答案】14

【解析】

【分析】的周长等于与两条对角线一半的和，根据平行四边形的性质，对边相等，对角线互相平分即可求解

【详解】四边形是平行四边形，AC=20cm，BD=32cm

，

，

故答案为：

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟悉四边形的性质是解题的关键．

13. 如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，，垂足为E．若AC=8，BD=6，则DE的长为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】根据菱形的性质得出求出AO和DO，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴

∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，OD=3，由勾股定理得：AD=5，
∴BC=5，

∴S菱形ABCD=，
∴，
解得：

故答案为：

【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．

14. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，且B′C′交AB于点E，若∠ABC=50°，则∠AEC的度数是______．

【答案】85°

【解析】

【分析】由旋转性质得到∠BCE＝35°，再根据三角形外角的性质得∠AEC＝∠ABC＋∠BCE，从而求出答案.

【详解】由旋转可知，∠BCE＝35°，所以，∠AEC＝∠ABC＋∠BCE＝50°＋35°＝85°，故答案为85°.

【点睛】本题主要考查了旋转的概念，理解旋转的性质是解本题的关键点.

15. 如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分，若，，则的面积为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】由矩形的性质得，由角平分线得，进一步证明BE=BC=AD，由勾股定理列方程得出AD，再由面积公式可得结论．

【详解】解：设AD=x，则AE=x-2

∵EC平分，

∴

∵四边形ABCD是矩形

∴AD=BC=x，，AD//BC

∴

∴

∴BC=BE=x

在Rt△ABE中，

∴

解得，

∴BE=BC=

∴

故答案为：

【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，证明BE=BC=AD是解答此题的关键．

16. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：

②四边形是菱形；

③重合时，；

④的面积的取值范围是

其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．

【答案】②③

【解析】

【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值便可．

【详解】如图1，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形，故②正确；

若，则

，这个不一定成立，

故①错误；

点与点重合时，如图2，

设则

在

即

解得

,

,

，

,

故③正确；

当过点时，如图3，

此时，最短，四边形的面积最小，则最小为，

当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为，

，

故④错误．

故答案为②③．

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．

三、解答题(共102分)

17. （1）求值：；

（2）解方程：．

【答案】（1）4；（2）．

【解析】

【分析】（1）分别计算算术平方根、立方根和零次幂，将结果相加减即可；

（2）依次移项、系数化为1、两边直接开平方即可得出答案．

【详解】解：（1）原式=

=4；

（2）

移项得：，

系数化为1得：，

两边直接开平方得：．

【点睛】本题考查求立方根，零指数幂和平方根方程．（1）中能根据定义分别计算是解题关键；（2）注意不要忘掉负值．

18. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE ＝ CF，求证：四边形EBFD是平行四边形

【答案】见解析

【解析】

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD＝BC，ADBC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形EBFD是平行四边形．

【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形 

∴AD＝BC，ADBC

又∵CF＝AE

∴AD－AE＝BC－CF

即：DE＝BF 

∴四边形EBFD是平行四边形

【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．

19. 如图，E 是矩形 ABCD 边 BC 上一点，， ．将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 B 的对称点为．当点 恰好落在边CD 上时，求的长．

【答案】

【解析】

【分析】根据折叠的性质可得，得＝AB＝5，根据矩形的性质可得AB＝CD＝5，在中，∠D＝90°，＝5，AD＝3，根据勾股定理可得的长度，由代入计算得出，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程，即可得出答案．

【详解】解：根据折叠可得：＝AB＝5，，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝5，∠C=∠D＝90°，BC=AD=3，

∵在中，∠D＝90°，，AD＝3，

∴，

∴，

设，则，

在中，根据勾股定理可得：，

即，

解得：，

即．

【点睛】本题主要考查了图形的变换-折叠，矩形的性质，勾股定理，能根据折叠得到直角三角形，是解题的关键．

20. 某小区居民利用“健步行”卡站健步走活动，为了解居民的健步走情况，小文调查了部分居民某天行走的步数（单位：千步），并将样本数据整理绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图.

根据图表提供的信息，回答下列问题：

（1）小文此次调查的样本容量是___________；

（2）行走步数为4~8千步的人数为_________人；

（3）行走步数为12~16千步的扇形圆心角为________°.

（4）如该小区有3000名居民，请估算一下该小区行走步数为0~4千步的人数.

【答案】（1）200；（2）50；（3）72；（4）420人

【解析】

【分析】(1)由8～12千步的人数及其所占百分比可解；(2)总人数乘以4～8千步的人数所占比例可解；(3)用360°乘以12～16千步人数所占比例可解;(4)总人数乘以可解.

【详解】解:

（1）小文此次一共调查了70÷35%=200位小区居民，故答案为200.   

（2）行走步数为4～8千步的人数为200×25%=50人，故答案为50.  

（3）行走步数为12～16千步的扇形圆心角是360°×20%=72°，故答案为72.

（4）（人）.答：行走步数为0~4千步大约420人.

【点睛】本题考查频数（率）直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21. 一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．

（1）估计摸到红球的概率是      ；

（2）如果袋中原有红球12个，求袋中原有几个球？

（3）又放入个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求的值．

【答案】（1）   

（2）袋中原有30个球   

（3）n＝6

【解析】

【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案；

（2）设袋子中原有m个球，根据题意得，解之即可得出答案；

（3）根据题意得，解之即可得出答案．

【小问1详解】

解：∵经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在，

∴估计摸到红球的概率是．

故答案为：．

【小问2详解】

解：设袋子中原有m个球，

根据题意，得，

解得：m＝30，

经检验m＝30是分式方程的解，且符合题意，

答：袋中原有30个球．

【小问3详解】

解：根据题意得：，

解得：n＝6，

经检验n＝6是分式方程的解，且符合题意，

∴n＝6．

【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上任意一点．

（1）如图①，只用无刻度的直尺在CD边上作出点F，使；

（2）如图②，用直尺和圆规作出菱形EFGH，使得点F、G、H分别在边BC、CD、DA上．（不写作法，只保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点F，点F即为所求作．

（2）在线段DC上截取线段DG，使得DG=BE，连接EG，作线段EG的垂直平分线交AD于H，交BC于F，连接EH，GH，EF，FG即可．

【详解】解：（1）如图①，点F即为所求；

（2）如图②，菱形EFGH即为所求．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，，，解答下列问题：

（1）将线段AB绕原点O顺时针方向旋转90°得到线段CD，再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF，画出线段CD和线段EF；

（2）如果线段AB旋转可以得到线段EF，则旋转中心P的坐标为____________________．

【答案】（1）见解析；（2）或．

【解析】

【分析】（1）分别连接点与旋转中心，再顺时针旋转后得到，将向下平移2个单位得到连接，即可；

（2）根据旋转中心到对应点的距离相等，找到对应点连线的中垂线交点即可

【详解】解：（1）如图，

①分别连接分别将顺时针旋转后得到，连接

②将分别向下平移2个单位得到,连接

（2）旋转中心到旋转前后图形的对应点的距离相等，则旋转中心在对应点的中垂线上

①当点的对应点为,点的对应点为时，

连接分别作其中垂线，交点即为旋转中心

如图：．

②同理可得：当点的对应点为,点的对应点为时，

如图：

故答案为：或．

【点睛】本题考查了旋转与平移的性质及作图，找旋转中心，熟悉旋转的性质是解题的关键．

24. 如图，在中，点E、F 在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．

（1）求证：；

（2）求证：四边形ABCD是矩形．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析．

【解析】

【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB＝DC，再证AF＝DE，然后由全等三角形的判定定理即可得到结论．

（2）由全等三角形的性质得到∠A＝∠D．再证∠A＝90°，然后根据矩形的判定定理即可得到结论．

【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AE＝FD，

∴AE＋EF＝FD＋EF，

即AF＝DE，

在△ABF和△DCE中，，

∴△ABF≌△DCE（SSS）；

【小问2详解】

由（1）可知：△ABF≌△DCE，

∴∠A＝∠D，

∵AB∥CD，

∴∠A＋∠D＝180°，

∴2∠A＝180°，

∴∠A＝90°，

∴▱ABCD为矩形．

【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．

25. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）证明：四边形是菱形；

（3）若，求菱形的面积．

【答案】（1）见详解    （2）见详解   

（3）24

【解析】

【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据中线的性质即可证明；

（2）由（1）所得条件结合直角三角形中位线的性质即可证明；

（3）过点A作AG⊥BC，应用等面积法求出AG，即可求解．

【小问1详解】

解：∵，

∴，

∵E是的中点，

∴，

在和中

，

∴；

【小问2详解】

∵，

∴，

∴四边形是平行四边形，

又∵D是的中点，

∴，

∴四边形ADCF是菱形；

【小问3详解】

如图，过点A作AG⊥BC，

∵，

∴，

∴，

即，

则．

【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、菱形的性质、勾股定理、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．

26. 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．

（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；

（2）下列说法正确的有        ；（填写所有正确结论的序号）

①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；

③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．

（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．

①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；

②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．

【答案】（1）见解析；（2）①②③④；（3）①证明见解析；②

【解析】

【分析】（1）根据准矩形和准菱形的特点画图即可；

（2）根据矩形的判定定理和菱形的判定定理结合准矩形和准菱形的性质对每一个选项进行推断即可；

（3）①先根据已知得出△ACF≌△ECF，再结合∠ACE＝∠AFE可推出AC∥EF，AF∥CE，则证明了“准菱形”ACEF是平行四边形，又因为AC＝EC即可得出“准菱形”ACEF是菱形；

②取AC的中点M，连接BM、DM，根据四边形ACEF是菱形可得A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，根据圆周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根据∠ACD＝30°即可求出AD，CD的长，则可求出菱形的面积．

【详解】解：（1）如图，四边形ABCD和ABCD′即为所求．

；

（2）①因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边平行可以判断四边形为矩形，故①正确；

②因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边相等可以判断四边形为矩形，故②正确；

③因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边相等可以判断四边形为菱形，故③正确；

④因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边平行可以判断四边形为菱形，故④正确；

故答案为：①②③④；

（3）①证明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，

∴△ACF≌△ECF（SSS）．

∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，

∵∠ACE＝∠AFE，

∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，

∴AC∥EF，AF∥CE，

∴“准菱形”ACEF是平行四边形，

∵AC＝EC，

∴“准菱形”ACEF是菱形；

②如图：取AC的中点M，连接BM、DM，

∵四边形ACEF是菱形，

∴AE⊥CF，∠ADC=90°，

又∵∠ABC=90°，

∴A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，

∵∠ACB=15°，

∴∠AMB=30°，

∵∠ACD=30°，

∴∠AMD=60°，

∴∠BMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴BM=DM=BD=×=1，

∴AC=2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴AD=AC×sin30°=1，CD=AC×cos30°=，

∴菱形ACEF的面积=×1××4=．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，四点共圆的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数，掌握各知识点并熟练应用是解题关键．