泰州市靖江实验学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

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泰州市靖江实验学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题一．选择题（本题共6小题，共18分）1. 下列四个图形中，属于中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 2. 在式子中，分式的个数有（　　）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个3. 等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（  ）A.  B.  C.  D. 4. 为了早日实现“绿色高港，滨江之城”的目标，高港对4000米长的长江沿岸进行了绿化改造．为了尽快完成工期，实际施工队每天比原计划多绿化10米，结果提前2天完成．若实际每天绿化x米，则所列方程正确的是（    ）A.  B. C.  D. 5. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（    ）A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°6. 如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（    ）A 27° B. 32° C. 36° D. 40°二．填空题（本题共10小题，共30分）7. 当x＝_______时，分式的值为零．8. 当有意义时，的取值范围是______．9. 若的整数部分是，小数部分是，则______．10. 化简：（2）2021（2）2020＝___．11. 已知关于的分式方程有增根，则______．12. 若实数满足，则______．13. 已知，则______.14. 如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．15. 如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是__．16. 如图，平行四边形中，cm，cm，点在边上以每秒1cm速度从点、A向点运动，点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）在运动以后，当 ______ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．三．计算题（本题共2小题，共16分）17 计算：（1）；（2）．18. 解下列方程：（1）；（2）．四．解答题（本题共8小题，共86分）19. 先化简，再求值： ，其中 ．20. 已知，，求代数式的值．21. 如图，在平面直角坐标系中，即的三个顶点分别是，，．（1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，求线段在平移过程中扫过的面积；（3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______．22. 如图，在中，延长到，延长到，使得，试猜测与有什么关系，并加以证明．23. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？24. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝，则a±2将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使得以化简．例如，因为5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2，所以＝．请仿照上面例子化简下列根式：(1)       (2) 25. 已知在中，，点在上，以、为腰作等腰三角形，且，连接，过作交延长线于，连接．（1）求证：≌；（2）若，求的度数；（3）求证：四边形是平行四边形．26. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，其中a，b满足．（1）求直线的解析式；（2）直线AB上否存在点P，使，若存在请求出其坐标；若不存在请说明理由．（3）将一个角的顶点Q放在x轴上，使其角的一边经过A点，另一边交直线AB于点R，当为等腰直角三角形时，请直接写出点R的坐标．
答案与解析一．选择题（本题共6小题，共18分）1. 下列四个图形中，属于中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的概念解答．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解： A．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，故选项错误，不符合题意；B．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，故选项错误，不符合题意；C．能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，故选项正确，符合题意；D．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了是中心对称图形的概念．解体的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 在式子中，分式的个数有（　　）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】B【解析】【分析】形如：，都为整式，且B中含有字母，这样的代数式是分式，根据分式的定义逐一判断即可得到答案.【详解】解：式子中，分式有： 一共3个，故选B【点睛】本题考查的是分式的定义，掌握“利用分式的定义判断代数式是否是分式”是解题的关键.3. 等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．【详解】由题意可知： ,解得：,故选：．【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.4. 为了早日实现“绿色高港，滨江之城”的目标，高港对4000米长的长江沿岸进行了绿化改造．为了尽快完成工期，实际施工队每天比原计划多绿化10米，结果提前2天完成．若实际每天绿化x米，则所列方程正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】关键描述语是：“提前2天完成绿化改造任务”．等量关系为：原计划的工作时间-实际的工作时间=2．【详解】解：若设实际每天绿化（x）m，原计划每天绿化（x-10）m，
原计划的工作时间为：，实际的工作时间为：，
方程应该为：．
故选：C．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题主要用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．5. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（    ）A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°【答案】D【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．【详解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC=∠C=70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠E=∠C=70°．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键．6. 如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（    ）A. 27° B. 32° C. 36° D. 40°【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形以及折叠的性质即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴又∠DAE=20°∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=106°根据折叠可得：又∠AEF=180°-∠AED=74°∴故答案选择B．【点睛】本题考查的是平行四边形的综合，涉及到了折叠的性质、三角形的内角和以及平角的性质，难度适中．二．填空题（本题共10小题，共30分）7. 当x＝_______时，分式的值为零．【答案】3【解析】【详解】解：由题意得，解得x＝3故答案为：3．8. 当有意义时，的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】要使有意义，需要且，解不等式取公共部分即可．【详解】解：由题意得：且，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了二次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义，分母不为0；零指数幂有意义，底数不为0；熟练掌握有意义的条件是关键．9. 若的整数部分是，小数部分是，则______．【答案】【解析】【分析】先估算的大小，再计算的取值范围，取得整数部分，得到a，b的值，最后计算．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查无理数的估算，涉及无理数整数部分的计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10. 化简：（2）2021（2）2020＝___．【答案】【解析】【分析】利用积的乘方得到原式，然后根据平方差公式计算．【详解】解：原式．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、平方差公式和积的乘方与幂的乘方是解决问题的关键．11. 已知关于的分式方程有增根，则______．【答案】3【解析】【分析】根据题意先将分式方程化为整式方程，然后把x=1代入到整式方程中进行计算即可解答．【详解】解：，去分母得：，∵分式方程有增根，∴x-1=0，∴x=1，把x=1代入中得：解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键．12. 若实数满足，则______．【答案】22【解析】【分析】根据二次函数有意义的条件，可知，得，进而去绝对值，最后化简求值即可.【详解】解：根据题意，得：，即，由，得+，即，两边平方，得，．故答案为：．【点睛】本题主要考查的有二次根式有意义的条件，绝对值的性质以及解方程，题目有一定的难度，判断m的取值范围去绝对值是解决本题的关键.13. 已知，则______.【答案】1【解析】【分析】观察所求式子可以发现，分子分母都含有和，所以从这点入手化简已知条件，求出和的等式，再代入即可得.【详解】∵，∴，即，∴.【点睛】这类题的一般做法是先观察所求式子，找出特点，再化简变形已知条件，代入计算.14. 如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．【答案】50【解析】【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=BE=5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四边形ABCD的面积===50，故答案为：50．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．15. 如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是__．【答案】16【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由OM⊥AC，可得AM=CM，然后由△CDM的周长为8，求得平行四边形ABCD的周长．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长为8，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.故答案为:16.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质.16. 如图，平行四边形中，cm，cm，点在边上以每秒1cm的速度从点、A向点运动，点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）在运动以后，当 ______ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．【答案】4.8s或8s或9.6s【解析】【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，以点、、、为顶点组成平行四边形，，分为以下情况：点的运动路线是，方程为，此时方程，此时不符合题意；点的运动路线是，方程为，解得：s；点的运动路线是，方程为，解得：s；点的运动路线是，方程为，解得：s；综上所述，4.8s或8s或9.6s时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，故答案为：4.8s或8s或9.6s．【点睛】此题考查了平行四边形的判定．解题的关键是求出符合条件的所有情况，注意分类讨论思想的应用．三．计算题（本题共2小题，共16分）17 计算：（1）；（2）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可；（2）先算乘方和乘法，再进行加法运算即可得到答案．【小问1详解】解： ；【小问2详解】解： ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键要熟练掌握运算顺序和运算法则．18. 解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）无解    （2）无解【解析】【分析】（1）方程两边同乘以（x+1）（x-1），进行计算，并验证是否是方程的解；（2）方程两边同乘以（x-2），进行计算，并验证是否是方程的解.【小问1详解】解：去分母得：，解得：，检验：把代入得：，是增根，分式方程无解；【小问2详解】解：去分母得：，解得：，检验：把代入得：，是增根，分式方程无解．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，正确的掌握解分式方程的解法是关键，需要注意的是准确的找到最小公分母和去分母不漏乘.四．解答题（本题共8小题，共86分）19. 先化简，再求值： ，其中 ．【答案】，．【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序进行化简，然后根据负整数指数幂的法则，零指数幂的法则，绝对值的意义求出a的值，最后代入计算即可．【详解】解：原式 ，∵∴原式   ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂的法则，零指数幂的法则，绝对值的意义等知识，正确运用以上知识进行运算是解题的关键．20. 已知，，求代数式值．【答案】3【解析】【分析】先计算出m+n=2，mn=-1，再利用完全平方公式把原式变形得到然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵ ，∴原式【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．记住零指数幂与负整数指数幂的意义．21. 如图，在平面直角坐标系中，即的三个顶点分别是，，．（1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（2）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，求线段在平移过程中扫过的面积；（3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______．【答案】（1）见解析    （2）见解析，8    （3）．【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据平移前后A点坐标的变化得到平移方式，从而作图即可；（3）根据旋转中心必在对应点连线的垂直平分线上，连接，，两者的交点即为所求．小问1详解】如图所示，即为所求；【小问2详解】如图所示，即为所求，线段在平移过程中扫过的面积为；【小问3详解】如图所示，点即为旋转中心，其坐标为，故答案为：．【点睛】本题最要考查了画旋转图形，画平移图形，图形扫过的面积，坐标与图形，找旋转中心等等，熟知相关知识是解题的关键．22. 如图，在中，延长到，延长到，使得，试猜测与有什么关系，并加以证明．【答案】线段与互相平分，证明见解析．【解析】【分析】连接，，根据平行四边形的性质可得，，从而得到，从而得到四边形是平行四边形，即可求解．【详解】证明：线段与互相平分．理由如下： 连接，， 四边形是平行四边形，，， ， ，又∵，四边形是平行四边形，线段与互相平分．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．23. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？【答案】（1）甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；（2）甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．【解析】【分析】（1）根据该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验；（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．【详解】解：（1）设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元，依题意，得： ，解得：x=30，经检验，x=30是原方程的解，且符合实际意义，则x-6=24．答：甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式：m≥(300-m)，解得：m≥75，∴75≤m≤300，设总费用为W，根据题意得：W=20m+15(300-m)=5m+4500，∵k=5>0，∴W随m的减小而减小，∴当m=75时，W有最小值，∴W=5×75+4500=4875元∴甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．24. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝，则a±2将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使得以化简．例如，因5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2，所以＝．请仿照上面例子化简下列根式：(1)       (2) 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）把4分成1和3，可以把根号里面的数凑成完全平方的形式；（2）把9分成4和5，可以把根号里面的数凑成完全平方的形式．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题考查二次根式的化简和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用．25. 已知在中，，点在上，以、为腰作等腰三角形，且，连接，过作交延长线于，连接．（1）求证：≌；（2）若，求的度数；（3）求证：四边形是平行四边形．【答案】（1）见解析    （2）120°    （3）见解析【解析】【分析】（1）证明：由等边对等角可知，即得出．由题意可得，，即得出．由，可证明， 从而可证明，即易证≌；（2）根据题意可知，再根据≌即可证明，从而可求出．由两直线平行，同旁内角互补可得出，从而可求出；（3）由（2）知，再根据两直线平行，内错角相等即可证明，即得出，从而可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．【小问1详解】证明：，，，以、为腰做等腰三角形，，，，，，，，在和中，，≌；【小问2详解】解：，，≌，，，，，    ，；【小问3详解】证明：≌，，，，，，，，，，，又，四边形是平行四边形．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行四边形的判定．掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．26. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，其中a，b满足．（1）求直线的解析式；（2）直线AB上是否存在点P，使，若存在请求出其坐标；若不存在请说明理由．（3）将一个角的顶点Q放在x轴上，使其角的一边经过A点，另一边交直线AB于点R，当为等腰直角三角形时，请直接写出点R的坐标．【答案】（1）；（2）存在，或；（3）或或或【解析】【分析】（1）根据平方的非负性和算术平方根的非负性即可求出a和b的值，从而求出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）设点P的坐标为（m，），根据点P在点A左侧、点P在AB之间、点P在点B右侧分类讨论，画出图形，根据面积关系求解即可；（3）设R的坐标为（n，），根据R的位置和中的直角分类讨论，分别画出对应的图形，构造出全等三角形，根据全等三角形的性质即可分别求解．【详解】解：（1）∵，∴解得：∴点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（0，3）设直线的解析式为y=kx＋c将点A、B的坐标分别代入，得解得：∴直线的解析式为；（2）存在，理由如下设点P的坐标为（m，），①当点P在点A左侧时，过点A作AC⊥y轴于C，过点P作PD⊥y轴于D，连接PO，如下图所示∴AC=2，PD=-m∵∴，（其中OB为同底）∴PD=3AC即-m=3×2解得：m=-6∴此时点P的坐标为（-6，0）；②当点P在AB之间时，显然，即此时不存在点P符合题意，舍去；③当点P在点B右侧时，过点A作AC⊥y轴于C，过点P作PD⊥y轴于D，连接PO，如下图所示∴AC=2，PD=m∵∴，（其中OB为同底）∴PD=AC即m=2∴此时点P的坐标为（2，4）；综上：存在，点P的坐标为或；（3）设R的坐标为（n，），①当点R在点A左侧且∠RAQ=90°时，过点A作EF∥x轴，过点Q作QE⊥EF于点E，过点R作RF⊥EF于点F，如下图所示∴AR=AQ，∠RFA=∠AEQ=∠RAQ=90°，AF=-2－n，QE=2∴∠FRA＋∠FAR=90°，∠EAQ＋∠FAR=90°，∴∠FRA=∠EAQ∴△FRA≌△EAQ∴AF= QE即-2－n=2解得：n=-4，∴此时点R的坐标为（-4,1）；②当点R在点A左侧且∠ARQ=90°时，过点R作EF⊥x轴于E，过点A作AF⊥EF于点F，如下图所示∴AR=RQ，∠RFA=∠QER=∠ARQ=90°，AF=-2－n，RE=∴∠FRA＋∠FAR=90°，∠FRA＋∠ERQ=90°，∴∠FAR=∠ERQ∴△FAR≌△ERQ∴AF= RE即-2－n=解得：，∴此时点R的坐标为；③当点R在点A右侧且∠RAQ=90°时，过点A作AF∥x轴，过点Q作QE⊥EF于点E，过点R作RF⊥EF于点F，如下图所示∴AR=AQ，∠RFA=∠AEQ=∠RAQ=90°，AF=n－（-2）=n＋2，QE=2∴∠FRA＋∠FAR=90°，∠EAQ＋∠FAR=90°，∴∠FRA=∠EAQ∴△FRA≌△EAQ∴AF= QE即n＋2=2解得：n=0，∴此时点R的坐标为（0，3）；④当点R在点A右侧且∠ARQ=90°时，过点R作RE⊥x轴于E，过点A作AF⊥EF于点F，如下图所示∴AR=RQ，∠RFA=∠QER=∠ARQ=90°，AF= n－（-2）=n＋2，RE=∴∠FRA＋∠FAR=90°，∠FRA＋∠ERQ=90°，∴∠FAR=∠ERQ∴△FAR≌△ERQ∴AF= RE即n＋2=解得：，∴此时点R的坐标为；综上：点R的坐标为或或或．【点睛】此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和构造全等三角形的方法是解题关键．