无锡市江阴市华士实验中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

无锡市江阴市华士实验中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

总分120

一、选择（每题3分，共30分）

1. 下列几种图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ）

A.  B.  C.  D.

2. 今年某市有近9000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）

A. 每位考生的数学成绩是个体

B. 9000名考生是总体

C. 这1000名考生是总体的一个样本

D. 1000名学生是样本容量

3. 已知ABCD中，∠B=4∠A，则∠D=（   　 ）

A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°

4. 若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    )

A. 矩形 B. 菱形

C. 对角线相等四边形 D. 对角线互相垂直的四边形

5. 下列命题中，真命题是（ ）

A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形

B. 有两条边相等的平行四边形是菱形

C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形

6. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）

A. 55° B. 70° C. 125° D. 145°

7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（    ）

A 75° B. 60° C. 55° D. 45°

8. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

9. 正方形ABCD边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）

A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变

10. 如图，在平面直角坐标系中，将□ABCD放置在第一象限，且ABx 轴．直线y=－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，则□ABCD的面积为（　  　）

A. 10 B.  C. 5 D.

二、填空（每题3分，共24分）

11. 当x______时，式子有意义．

12. 在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，每个除颜色外完全相同，将球摇匀从中任取一球：(1)恰好取出白球；(2)恰好取出红球；(3)恰好取出黄球，根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列 ___________（只需填写序号）．

13. 一个样本的40个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的个数分别是2、8、20，则第4组数据的频率为__________

14. 矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4cm，两条对角线的一个交角为120°，则对角线AC的长为______．

15. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则这个菱形的另一条对角线长是____．

16. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝3，则AE＝___．

17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点A1的坐标为______．

18. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)， B(3，2)，点C是直线上一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为______

三、解答题（共66分）

19. （1）计算：

（2）解方程：

20. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了_____名同学；

（2）条形统计图中，m＝_____，n＝_______；

（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度；

（4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？

21. 在中，于点E，求的度数．

22. 如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．

（1）在图1中，作边AD上的中点F；

（2）在图2中，作边AB上的中点G．

23. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点

（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

24. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，将此矩形沿CE折叠，点D落在点F处，连接BF，B、F、E三点恰好在一直线上．

（1）求证：△BEC为等腰三角形；（2）若AB＝2，∠ABE＝45°，求矩形ABCD的面积．

25. 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．

（1）求证：PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝　   　度．

26. 已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E. F,垂足为O.

(1)如图1，连接AF、CE.求证：四边形AFCE为菱形.

(2)如图1，求AF的长.

(3)如图2，动点P、Q分别从A. C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒.

①问在运动的过程中，以A. P、C. Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由.

②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A. P、C. Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

答案与解析

一、选择（每题3分，共30分）

1. 下列几种图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.

【详解】A、B、D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

C既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.

2. 今年某市有近9000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）

A. 每位考生的数学成绩是个体

B. 9000名考生是总体

C. 这1000名考生是总体的一个样本

D. 1000名学生是样本容量

【答案】A

【解析】

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐一进行分析即可得.

【详解】A. 每位考生的数学成绩是个体，正确；

B. 9000名考生的数学成绩的全体是总体，故B选项错误；

C. 这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故C选项错误；

D.样本容量是1000，故D选项错误，

故选A.

【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本的区别，关键是明确考查对象的范围．样本容量只是个数字，没有单位．

3. 已知ABCD中，∠B=4∠A，则∠D=（   　 ）

A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行四边形的邻角互补，进而得出∠D的度数．

【详解】解：∵四边形BCDA是平行四边形，

∴ADCB，∠B=∠D，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠B=4∠A，

∴∠A+4∠A=180°，

解得：∠A=36°，

∴∠B=144°，

∴∠D=144°，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．

4. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    )

A. 矩形 B. 菱形

C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．

【详解】解：如图，

根据题意得：四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，

∵，，，

．

原四边形一定是对角线相等的四边形．

故选：C．

【点睛】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

5. 下列命题中，真命题是（ ）

A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形

B. 有两条边相等的平行四边形是菱形

C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行四边形的各种判定方法、正方形的各种判定方法、菱形的各种判定方法判断即可．

【详解】解：A、一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题；

B、有两条邻边相等平行四边形是菱形，是假命题；

C、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；

D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；

故选D．

【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

6. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）

A. 55° B. 70° C. 125° D. 145°

【答案】C

【解析】

【详解】解：∵∠B=35°，∠C=90°，

∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．

∵点C、A、B1在同一条直线上，

∴∠BA B1=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．

∴旋转角等于125°．

故选：C．

7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（    ）

A 75° B. 60° C. 55° D. 45°

【答案】B

【解析】

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠DAE＝60°，AD＝AE，

∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°，

∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；

故选：B．

【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

8. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】C

【解析】

【详解】∵CE//BD，DE//AC，

∴四边形CODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，

∴OD=OC= AC=2，

∴四边形CODE是菱形，

∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．

故选C．

9. 正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）

A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变

【答案】D

【解析】

【分析】连接DE，△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．

【详解】解：连接DE，如图，

，

∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等，即：矩形的面积保持不变．

故选D．

【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE由面积关系进行转化是解题的关键．

10. 如图，在平面直角坐标系中，将□ABCD放置在第一象限，且ABx 轴．直线y=－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，则□ABCD的面积为（　  　）

A. 10 B.  C. 5 D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过图象中（3，0），（7 ，），（8，）可得直线运动到A，D，B三点时所移动距离，从而求出AB长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高从而求解．

【详解】解：由图象可知，直线经过A时移动距离为3，经过D时移动距离为7，经过B时移动距离为8，

∴AB=8-3=5，

如图，当直线经过点D时，交AB于点E，作DF垂直于AB于点F，

由图2可知，

∵直线与AB夹角为45°，

∴DF=EF=2，

∴□ABCD面积为AB·DF=5×2=10．

故选：A．

【点睛】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握k=-1时直线与x轴所夹锐角为45°．

二、填空（每题3分，共24分）

11. 当x______时，式子有意义．

【答案】≥−1

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＋1≥0，再解不等式即可．

【详解】解：x＋1≥0，

解得x≥−1．

故答案为：≥−1．

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

12. 在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，每个除颜色外完全相同，将球摇匀从中任取一球：(1)恰好取出白球；(2)恰好取出红球；(3)恰好取出黄球，根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列 ___________（只需填写序号）．

【答案】（1）（3）（2）

【解析】

【分析】依次求出各事件发生的可能性即可判断.

【详解】P(1)=，P(2)=，P(3)=，

故可能性从小到大的顺序排列为（1）（3）（2）

【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.

13. 一个样本的40个数据分别落在4个组内，第1、2、3组数据的个数分别是2、8、20，则第4组数据的频率为__________

【答案】0.25

【解析】

【分析】求出第4组数据的频数，即可确定出其频率．

【详解】解：根据题意得：40﹣（2+8+20）＝10，

则第4组数据的频率为10÷40＝0.25，

故答案为：0.25

【点睛】此题考查了频率与频数，弄清频率与频数之间的关系是解本题的关键．

14. 矩形ABCD对角线相交于点O，AB＝4cm，两条对角线的一个交角为120°，则对角线AC的长为______．

【答案】8或 cm

【解析】

【分析】根据矩形的性质求得OA=OD，再根据已知条件，分情况讨论，当∠AOD=120°，AB=4cm，得到BD=2AB，当∠AOB=120°时，同理根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求出矩形对角线AC的长．

【详解】解：如图1，当∠AOD=120°时，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD．

又∵OA=OC=AC，OB=OD=BD，

∴OA=OD．

∵∠AOD=120°，

∴∠ODA=∠OAD=30度．

又∵∠DAB=90°，

∴AC=BD=2AB=2×4=8（cm）．

如图2，当∠AOB=120°时，

同理可得BC=AC,则AB=

当AB=4cm时，AC=（cm）．

故答案为：8或cm．

【点睛】考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，了解矩形的对角线相等且互相平分是解决本题的关键．

15. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则这个菱形的另一条对角线长是____．

【答案】8

【解析】

【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出另一条对角线的长度．

【详解】解：如图所示：

∵S菱形ABCD＝24，

∴BD·AC＝24，

∵AC＝6，

∴BD·6＝24，

∴BD＝8，

故答案为：8．

【点睛】本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：菱形的面积等于对角线乘积的一半．

16. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，已知DF＝3，则AE＝___．

【答案】3

【解析】

【分析】根据已知条件可得是的中位线，进而求得，根据是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得的长．

【详解】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，

∴

故答案为：

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等内容，理解和掌握相关概念是解题的关键．

17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点A1的坐标为______．

【答案】（4，3）

【解析】

【分析】由旋转的性质得OA1=OA=5，由勾股定理求出A1C=4，即可得出A1的坐标为（4，3）．

【详解】解：由旋转的性质得：OA1=OA=5，

∵四边形OABC是矩形，

∴∠OCB=90°，

∴A1C==4，

∴A1的坐标为（4，3）．

故答案为：（4，3）．

【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．

18. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)， B(3，2)，点C是直线上一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为______

【答案】

【解析】

【分析】OC恰好平分四边形OACB的面积，则OC和AB的交点就是AB的中点，求得AB的中点D，然后利用待定系数法即可求得OD的解析式，然后求OD的解析式与直线y=4x+20的交点即可．

【详解】解：AB的中点D的坐标是，即（2，3），

设直线OD的解析式是y=kx，则2k=3，

解得：，则直线的解析式是：

根据题意得：，解得

则C的坐标是：

故答案为：

【点睛】本题考查直线和平行四边形，会用待定系数法求直线的解析式，掌握平行四边形的性质，式，以及直线交点的求法，理解AC一定经过AB的中点是关键．

三、解答题（共66分）

19. （1）计算：

（2）解方程：

【答案】（1）--1；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用绝对值的性质以及零指数幂以及负整数指数幂的性质化简各数，进而得出答案；

（2）利用直接开平方法解方程得出答案．

【详解】解：（1）原式=2--2-1

=--1；

（2），

x+1=±2，

解得：．

【点睛】此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确化简各数是解题关键．

20. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了_____名同学；

（2）条形统计图中，m＝_____，n＝_______；

（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度；

（4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？

【答案】（1）200；（2）40，60；（3）72；（4）学校购买其他类读物750册比较合理．

【解析】

【分析】（1）用文学的人数÷文学的百分比可得调查人数；

（2）科普的百分比×抽样人数得科普人数，再用抽样人数减文学、科普和其他人数得艺术人数；

（3）先求出艺术的百分比，再根据比例求得圆心角；

（4）用5000乘其他读物的比例求得.

【详解】解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，

故本次调查中，一共调查了：70÷35%＝200人，

故答案为：200；

（2）根据科普类所占百分比为：30%，

则科普类人数为：n＝200×30%＝60人，

m＝200﹣70﹣30﹣60＝40人，

故m＝40，n＝60；

故答案为：40，60；

（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°＝72°，

故答案为：72；

（4）由题意，得5000×＝750（册）．

答：学校购买其他类读物750册比较合理．

【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，样本估计总体，能够从不同的统计图中得到有用信息是解题的关键.

21. 在中，于点E，求的度数．

【答案】

【解析】

【分析】根据等边对等角求得∠DBC=∠C=70°，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，推出∠ADB=∠DBC=70°，在直角△AED中，即可求出∠DAE的度数．

【详解】在△DBC中，
∵DB=CD，∠C=70°，
∴∠DBC=∠C=70°，
又∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质以及等腰三角形的性质，难易程度适中．

22. 如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．

（1）在图1中，作边AD上的中点F；

（2）在图2中，作边AB上的中点G．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质即可在图1中，作边AD上的中点F；

（2）根据平行四边形的性质在图2中，作两次平行四边形即可作边AB上的中点G．

【小问1详解】

解：在图1中，点F即为边AD上的中点；

【小问2详解】

在图2中，点G即为边AB上的中点．

【点睛】本题考查了作图一复杂作图、线段垂直平分线性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是准确画图．

23. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点

（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD； （2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．

【详解】证明： （1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵∠AFE＝∠DCE， ∠AEF＝∠DEC ，AE＝DE，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=CD，

∴D是BC的中点；

（2）四边形AFBD是矩形．

理由： ∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵AF=BD，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，

∴四边形AFBD是平行四边形，

又∵∠ADB=90°，

∴四边形AFBD是矩形．

【点睛】本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．

24. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，将此矩形沿CE折叠，点D落在点F处，连接BF，B、F、E三点恰好在一直线上．

（1）求证：△BEC为等腰三角形；（2）若AB＝2，∠ABE＝45°，求矩形ABCD的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由矩形ABCD可得∠DEC＝∠BCE，由折叠知∠DEC＝∠FEC，从而可得 ∠FEC＝∠BCE，从而可推得结论；

（2）利用勾股定理可求得BE的长，由（1）可知BC=BE，利用矩形的面积公式即可得.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，

由折叠知∠DEC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠BCE，

又∵B、F、E三点在一直线上，∴∠BEC＝∠BCE，

∴BC＝BE，即△BEC为等腰三角形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，

又∵AB＝2，∠ABE＝45°，∴BE＝2，

又∵BC＝BE，∴BC＝2，

∴矩形ABCD的面积为4．

25. 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．

（1）求证：PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝　   　度．

【答案】（1）证明见解析   

（2）90°    （3）115°

【解析】

【分析】（1）先证△ABP≌△CBP可得PA=PC，再结合PA=PE即可证明结论；

（2）由△ABP≌△CBP可得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC可得∠DAP=∠E、∠DCP=∠E，最后证得∠CPF=∠EDF=90°即可；

（3）借助（1）和（2）的证明方法证明即可．

【小问1详解】

解：∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC，

∴∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

【小问2详解】

解：由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠PEA，

∴∠DCB=∠AEP，

∵∠AEP+∠EFD+∠FDE=180°，∠CFP+∠FPC+∠FCP=180°，∠CFP=∠EFD，

∴∠EDF=∠FPC

∵∠EDF=90°，

∴∠CPE=90°；

【小问3详解】

∠EPC=115°，理由如下：

在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴∠PAD=∠PEA，

∴∠PCD=∠AEP，

∵∠AEP+∠EFD+∠FDE=180°，∠CFP+∠EPC+∠FCP=180°，∠CFP=∠EFD，

∴∠EDF=∠EPC

∴菱形ABCD，∠ABC＝65°

∴∠ADC=∠ABC＝65°，

∴∠EDF=180°-∠ADC=180°-65°=115°．

∴∠CPE=∠EDF =115°．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、等边对等角的性质等知识点，由正方形的性质得到∠ABP=∠CBP是解答本题的关键．

26. 已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E. F,垂足为O.

(1)如图1，连接AF、CE.求证：四边形AFCE为菱形.

(2)如图1，求AF的长.

(3)如图2，动点P、Q分别从A. C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒.

①问在运动的过程中，以A. P、C. Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗?若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由.

②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A. P、C. Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

【答案】（1）见解析；（2）AF=5cm；（3）①P点运动的时间是 8，Q的速度是0.5cm/s；②t=.

【解析】

【分析】（1）证△AEO≌△CFO，推出OE=OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；

（2）设AF=CF=a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；

（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．

【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，

∵AC的垂直平分线EF，

∴AO=OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵ ，

∴△AEO≌△CFO(AAS)，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴平行四边形AECF是菱形；

(2)设AF=acm，

∵四边形AECF是菱形，

∴AF=CF=acm，

∵BC=8cm，

∴BF=(8−a)cm，

在Rt△ABF中,由勾股定理得：4 +(8−a) =a，

a=5，

即AF=5cm；

(3)①在运动过程中，以A. P、C. Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，

只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A. P、C. Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，

P点运动的时间是：(5+3)÷1=8，

Q的速度是：4÷8=0.5，

即Q的速度是0.5cm/s；

②分为三种情况：

第一、P在AF上，

∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能再CD上，此时当A. P、C. Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

第二、当P在BF上时,Q在CD或DE上,只有当Q在DE上时,当A. P、C. Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形,如图,

∵AQ=8−(0.8t−4),CP=5+(t−5)，

∴8−(0.8t−4)=5+(t−5)，

t=，

第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A. P、C. Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

即t=.

综上所述：当A. P、C. Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=.

【点睛】此题考查勾股定理，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质来求证.