无锡市天一实验学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

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无锡市天一实验学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题时间：100分钟  总分：120分一．选择题（共10小题，每小题3分）1. 为了完成下列任务，你认为最适合采用普查的是（    ）A. 了解某品牌电视的使用寿命 B. 了解一批西瓜是否甜C. 了解某批次烟花爆竹的燃放效果 D. 了解某隔离小区居民新冠核酸检查结果2. 如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（    ）．A.  B.  C.  D. 3. 下列运算正确的是（    ）A  B.  C.  D. 4. 若分式□运算结果为x﹣1，则在“□”中添加的运算符号为（    ）A. ＋ B. ﹣ C. × D. ÷5. 乐乐爸爸的公司今年1—7月份的销售额在七个月之内增长率的变化状况如图所示．从图上看出，下列结论正确的是（    ）A. 1—6月份销售额在逐渐减少B. 在这七个月中，1月份的销售额最大C. 这七个月中，每月的销售额不断上涨D. 这七个月中，销售额有增有减6. 下列说法中正确的是（      ）A. 矩形的对角线平分每组对角； B. 菱形的对角线相等且互相垂直；C. 有一组邻边相等矩形是正方形； D. 对角线互相垂直的四边形是菱形．7. 如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（    ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ）A. 6 B. 9 C.  D. 29. 如图，已知长方形纸板的边长，，在纸板内部画，并分别以三边为边长向外作正方形，当边、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则的面积为（    ）A. 6 B.  C.  D. 10. 如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（    ）A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11二．填空题（共8小题，每小题2分）11. 某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是__．12. 已知一组数据都是整数，其中最大值是242，最小数据是198，若把这组数据分成9个小组，则组距是___.13. 若分式的值为零，则x的值为__．14. 若关于x的分式方程有增根，则k的值是_________．15. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞上来50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．一周后，再从鱼塘中打捞出100条鱼．如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，那么我们可以估计鱼塘中鱼的总条数为__．16. 若3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0，则的值为_____．17. 如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______．18. 如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．若AD、BC所在直线互相垂直，的值为 ___．三．解答题（共8小题）19. 计算：（1）；（2）（﹣2）÷．20. 解分式方程：（1）；（2）．21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－4，1），B（－1，3），C（－1，1）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的，点的坐标为___；（2）平移△ABC，若点A对应的点的坐标为，画出，点的坐标为___；（3）当，绕某一点旋转可以得到（2）中的，直接写出旋转中心的坐标：___．22. 某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．柑橘总质量n/kg…300350400450500损坏柑橘质量m/kg…309335.3240.3645.0251.05柑橘损坏的频率（精确到0.001）…0.1030.101a0.100b （1）填空：a≈　　，b≈　　；（2）柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）；（3）柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？23. 如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．（1）求证：四边形DEFG为矩形；（2）若，，求CG长．24. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？25. 如图，点P正方形ABCD边AD上一点，AD＝4，作PE∥BD交AB于点E，连结CE，PB，点F是射线BD上一点，满足PF＝PB，连结CF．（1）求证：PE＝DF；（2）当四边形ECFP中有两条边相等时，求AP的长．26. 如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF, ∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE、CF的垂线，B、D为垂足.(1)求证:四边形ABCD是正方形，(2)已知AB的长为6，求(BE+6)(DF+6)的值，(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题:若三角形PQR中，∠QPR=45°，一条高是PH，长度为6,QH=2，则HR=        .
答案与解析一．选择题（共10小题，每小题3分）1. 为了完成下列任务，你认为最适合采用普查的是（    ）A. 了解某品牌电视的使用寿命 B. 了解一批西瓜是否甜C. 了解某批次烟花爆竹的燃放效果 D. 了解某隔离小区居民新冠核酸检查结果【答案】D【解析】【分析】普查和抽样调查的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】解：A、了解某品牌电视的使用寿命，调查带有破坏性，应用抽样调查方式，故此选项不合题意；B、了解一批西瓜是否甜，调查带有破坏性，应用抽样调查方式，故此选项不合题意；C、了解某批次烟花爆竹的燃放效果，调查带有破坏性，适合选择抽样调查，故此选项不符合题意；D、了解某隔离小区居民新冠核酸检查结果，对结果的要求高，结果必须准确，应用全面调查方式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．2. 如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先找出滑冰项目图案的张数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：∵有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑冰项目图案的有速度滑冰和花样滑冰2张，∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑冰项目图案的概率是；故选：B．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3. 下列运算正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据异分母分式加减法运算法则进行计算，判断A，根据分式的基本性质判断B，根据分式乘除法运算法则进行计算，判断C和D．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．4. 若分式□运算结果为x﹣1，则在“□”中添加的运算符号为（    ）A. ＋ B. ﹣ C. × D. ÷【答案】B【解析】【分析】利用同分母的减法法则，即可求解．【详解】解：∵，∴在“□”中添加的运算符号为-．故选：B【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．5. 乐乐爸爸的公司今年1—7月份的销售额在七个月之内增长率的变化状况如图所示．从图上看出，下列结论正确的是（    ）A. 1—6月份销售额在逐渐减少B. 在这七个月中，1月份的销售额最大C. 这七个月中，每月的销售额不断上涨D. 这七个月中，销售额有增有减【答案】C【解析】【分析】这七个月中，股票的增长率始终是正数，前六个月的股票增长率不断下降，七月份增长率上涨据此进行解答即可．【详解】解：由折线统计图可知1~6月份股票月增长率逐渐减少，7月份股票的月增长率开始回升，这七个月中，股票的增长率始终是正数，则每月的股票不断上涨，所以C正确，A、B、D均错误．故答案是C．【点睛】本题主要考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，在图形中纵轴表示的是增长率，只有增长率是负数，才表示股票下跌．6. 下列说法中正确的是（      ）A. 矩形的对角线平分每组对角； B. 菱形的对角线相等且互相垂直；C. 有一组邻边相等的矩形是正方形； D. 对角线互相垂直的四边形是菱形．【答案】C【解析】【分析】根据矩形及菱形的性质，菱形及正方形的判定定理依次判断即可得．【详解】解：A、矩形的对角线不平分每组对角，故选项错误；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故选项错误；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；故选：C．【点睛】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．7. 如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（    ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形的性质知DA=DB=DC，根据等腰三角形的性质结合菱形的判定定理可证得四边形ADCF为菱形，继而推出四边形DBCF为平行四边形，可判断①②；利用邻补角的性质结合已知可证得∠CFE =∠FGE，即可判断③；由③的结论可证得△FEG△FCD，推出，即可判断④．【详解】∵在中，为斜边的中线，∴DA=DB=DC，∵于点E，且，∴AE=EC，∴四边形ADCF为菱形，∴FC∥BD，FC=AD=BD，∴四边形DBCF为平行四边形，故②正确；∴DF=BC，∴DE=BC，故①正确；∵四边形ADCE为菱形，∴CF=CD，∴∠CFE=∠CDE，∵∠CDE+∠EGC=180，而∠FGE+∠EGC=180，∴∠CDE=∠FGE，∠CFE =∠FGE，∴EF=EG，故③正确；∵∠CDF=∠FGE，∠CFD=∠EFG，∴△FEG△FCD，∴，即，∴，∴BC =DF，故④正确；综上，①②③④都正确，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题．8. 若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ）A. 6 B. 9 C.  D. 2【答案】A【解析】【分析】解一元一次不等式组求得解集，根据题意可求得a的取值范围，解分式方程得方程的解，根据分式方程的解为非负整数即可确定所有的a值，从而可求得其和．详解】解不等式①得：；解不等式②得：由题意知不等式组的解集为：∵恰好有三个负整数解∴解得：解分式方程得：∵分式方程有非负整数解∴a+1是4的非负整数倍∵∴∴a+1=0或4或8即或3或7，即 综上：或7，则故选：A【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，根据不等式组有3个非负整数解，从而得出关于a的不等式是本题的难点与关键．9. 如图，已知长方形纸板的边长，，在纸板内部画，并分别以三边为边长向外作正方形，当边、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则的面积为（    ）A. 6 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则AB=，证明△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，再利用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12，即可求解．【详解】解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则AB=，∵四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形，∴AB=BJ，∠ABJ=90°，∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=∠JBP，∵∠ACB=∠BPJ=90°，∴△ABC≌△BJK（AAS），同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a，∵DE=10，EF=11，∴2b+a=10，2a+b=11，∴a+b=7，∴a2+b2=49-2ab，∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和，∴10×11=3ab+ab×4+a2+b2+()2，整理得：5ab+2(a2+b2)=110，把a2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110，∴ab=12，∴△ABC的面积为ab=6，故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形和直角三角形．10. 如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（    ）A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11【答案】D【解析】【分析】根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，再根据C1=2C2=4C3，FG=LK，EF=6，即可得到AB．【详解】解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，BF=FG，AE=AK，CL=HL，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，即BF+FE+AE=AK+KL+CL，又∵BF=FG=KL，∴EF=CL=6=CH，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，∵C1=2C2，∴AE=CH=3，又∵2C2=4C3，∴C3=C2=×12=6，∴BF=×6=2，∴AB=BF+EF+AE=2+6+3=11，故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及轴对称性质，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形．二．填空题（共8小题，每小题2分）11. 某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是__．【答案】0.1【解析】【分析】先求出第五组的频数是8，从而求出第六组的频数，最后求出第六组的频率即可解答．【详解】解：由题意得：40×0.2=8，∴第五组的频数是8，∴40-10-5-7-6-8=4，∴4÷40=0.1，∴第六组的频率是：0.1，故答案为：0.1．【点睛】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率等于频数÷总次数是解题的关键．12. 已知一组数据都是整数，其中最大值是242，最小数据是198，若把这组数据分成9个小组，则组距是___.【答案】5【解析】【详解】解：在样本数据中最大值与最小值的差为44,若把这组数据分成9个小组，那么由于 则组距是5.故答案为5.13. 若分式的值为零，则x的值为__．【答案】5【解析】【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴5-=0，x+5≠0，解得：x=5．故答案：5．【点睛】本题考查的是分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．14. 若关于x的分式方程有增根，则k的值是_________．【答案】##05【解析】【分析】先解分式方程求出x＝，再根据分式方程有增根，可得x＝5，然后把x＝5代入x＝中进行计算即可解答．【详解】解：+1＝，x﹣6+x﹣5＝﹣2k，解得：x＝，∵分式方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，把x＝5代入x＝中得：5＝，∴k＝，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的意义是解题的的关键．15. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞上来50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．一周后，再从鱼塘中打捞出100条鱼．如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，那么我们可以估计鱼塘中鱼的总条数为__．【答案】1000【解析】【分析】首先求出有记号的50条鱼在总条数中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【详解】∵打捞100条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，∴有标记的鱼占，∵共有50条鱼做上标记，∴鱼塘中估计有(条)故答案为1000 ．【点睛】考查了用样本估计总体，用到的指数点为：总体数目=部分数目相应频率．16. 若3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0，则的值为_____．【答案】2【解析】【分析】先把当作已知条件表示出、值，再代入原式进行计算即可.【详解】解方程组，解得，原式.故答案为：.【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.17. 如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______．【答案】【解析】【分析】连接AC交BD于H，证明DCH≌DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．【详解】解：如图，连接AC交BD于点H，由菱形的性质得∠BDC=35，∠DCE=70，又∵∠MCE=15，∴∠DCF=55，∵DF⊥CM，∴∠CDF=35，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC=35，在CDH和CDF中，∴CDH≌CDF（AAS），∴，∴DB=，故答案为．【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．18. 如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．若AD、BC所在直线互相垂直，的值为 ___．【答案】【解析】【分析】延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AHBH，由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，先证出∠AGB=∠DGC，由，证出△AGB△DGC，得出比例式，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出，即可得出的值．【详解】解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则AHBH，GE是AB的垂直平分线，GA= GB，同理：GD= GC，在△AGD和△BGC中，，△AGD△BGC (SAS)，∠GAD =∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD =∠GBC，∠GMA= ∠HMB，∠AGB = ∠AHB = 90°，∠AGE=∠AGB= 45°， ∠AGD = ∠BGC，∠AGB = ∠DGC=90°，∴△AGB和△DGC是等腰直角三角形，，，又∠AGE=∠DGF，∠AGD=∠EGF，△AGD△EGF，．【点睛】本题是相似三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，本题难度较大，综合性强，解题的关键是通过作辅助线综合运用全等三角形和相似三角形的性质．三．解答题（共8小题）19. 计算：（1）；（2）（﹣2）÷．【答案】（1）2x+3；    （2）．【解析】【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果．【小问1详解】解：=2x+3；【小问2详解】解：（﹣2）÷=．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，正确掌握分式的通分、因式分解和约分是解答的关键．20. 解分式方程：（1）；（2）．【答案】（1）    （2）无解【解析】【分析】（1）方程两边同乘，然后可求解方程；（2）方程两边同乘，然后可求解方程．【小问1详解】解：去分母得：，移项、合并同类项得：，解得：；经检验：当时，，∴是原方程的解；【小问2详解】解：去分母得：，移项、合并同类项得：，经检验：当时，，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－4，1），B（－1，3），C（－1，1）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的，点的坐标为___；（2）平移△ABC，若点A对应的点的坐标为，画出，点的坐标为___；（3）当，绕某一点旋转可以得到（2）中的，直接写出旋转中心的坐标：___．【答案】（1）图形如图所示，    （2）图形如图所示，点的坐标为    （3）（-1，-2）【解析】【分析】（1）根据旋转变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）根据平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；
（3）结合对应点的位置，依据旋转变换的性质可得旋转中心；【小问1详解】解：图形如图所示，点的坐标为【小问2详解】解：图形如图所示，点的坐标为【小问3详解】解：如图所示，点Q即为所求，其坐标为（-1，-2），
故答案为：（-1，-2）；【点睛】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．22. 某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．柑橘总质量n/kg…300350400450500损坏柑橘质量m/kg…30.9335.3240.3645.0251.05柑橘损坏的频率（精确到0.001）…0.1030.101a0.100b （1）填空：a≈　　，b≈　　；（2）柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）；（3）柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？【答案】（1）0.101，0.102    （2）0.1    （3）在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适．【解析】【分析】（1）利用频数计算方法去掉频数即可；（2）大量重复试验中频率稳定值即为概率；（3）设每千克大约定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列出关于x的方程，解之即可．【小问1详解】解：a=40.36÷400≈0.101，b=51.05÷500≈0.102，故答案为：0.101，0.102；【小问2详解】解：柑橘完好的概率约为0.1，故答案为：0.1；【小问3详解】解：设每千克大约定价为x元，根据题意得10000（1-0.1）x-10000×1.8=5400，解得x=2.6，答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适．【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．23. 如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．（1）求证：四边形DEFG为矩形；（2）若，，求CG的长．【答案】（1）见解析    （2）2【解析】【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．【小问1详解】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴点D是BC的中点．∵E点是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DEAC.∵DG⊥AC，EF⊥AC，∴EFDG∴四边形DEFG是平行四边形．又∵∠EFG＝90°，∴四边形DEFG为矩形；【小问2详解】解：∵AD⊥BC交BC于D点，∴ ∠ADB=∠ADC=90°∴△ADB是直角三角形∵E点是AB的中点，AB＝10，∴DE＝AE＝BC＝5．由（1）知，四边形DEFG为矩形，∴GF＝DE＝5在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF＝ ．∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定理，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．24. 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【答案】（1）120件；（2）150元．【解析】【分析】（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫可设为2x件，由已知可得，这种衬衫贵10元，列出方程求解即可．（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可．【详解】（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件，由题意可得：，解得，经检验是原方程的根．（2）设每件衬衫的标价至少是元，由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元）由题意可得：解得：，所以，，即每件衬衫的标价至少是150元．【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确找出等量关系和不等关系是解题关键． 25. 如图，点P是正方形ABCD边AD上一点，AD＝4，作PE∥BD交AB于点E，连结CE，PB，点F是射线BD上一点，满足PF＝PB，连结CF．（1）求证：PE＝DF；（2）当四边形ECFP中有两条边相等时，求AP的长．【答案】（1）见解析    （2）AP的长为4-4或4-8或2．【解析】【分析】（1）如图1，连接DE，先证明△ABP≌△ADE（SAS），可得∠ABP=∠ADE，可推出PF∥DE，再证明四边形PEDF是平行四边形，即可证得结论；（2）如图2，过点P作PG⊥BD于点G，过点C作CH⊥BD于点H，设AP=x，则PD=4-x，运用勾股定理可求得：PF2=16+x2，PE2=2x2，CF2=2x2+8x+16，CE2=x2-8x+32，再分类讨论即可．【小问1详解】证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=90°，∠ABD=∠ADB=45°，∵PE∥BD，∴∠AEP=∠ABD=45°，∠APE=∠ADB=45°，∴∠AEP=∠APE， ∴AE=AP，∴△ABP≌△ADE（SAS），∴∠ABP=∠ADE，∴∠ABD-∠ABP=∠ADB-∠ADE，即∠DBP=∠BDE，∵PF=PB，∴∠PFB=∠DBP，∴∠PFB=∠BDE，∴PF∥DE，∵PE∥DF，∴四边形PEDF是平行四边形，∴PE=DF；【小问2详解】解：如图2，过点P作PG⊥BD于点G，过点C作CH⊥BD于点H，设AP=x，则PD=4-x，∵PE∥BD，∴AE=AP=x，BE=PD=4-x，在Rt△ABP中，PB2=AB2+AP2=16+x2，∴PF2=16+x2，在Rt△AEP中，PE2=2x2，在Rt△DPG中，∠PDG=45°，∴PG=DG=PD=（4-x），∴FG=，∴DF=FG-DG=（x+4）-（4-x）=x，∵△CDH是等腰直角三角形，∴CH=DH=2，∴FH=x+2，∴CF2=CH2+FH2=（2）2+（x+2）2=2x2+8x+16，在Rt△CBE中，CE2=BC2+BE2=42+（4-x）2=x2-8x+32，①当CE=PE时，则x2-8x+32=2x2，解得：x=4-4或x=-4-4（不符合题意，舍去），∴AP=4-4；②当CE=CF时，则x2-8x+32=2x2+8x+16，解得：x=4-8或x=-4-8（不符合题意，舍去），∴AP=4-8；③当CE=PF时，则x2-8x+32=16+x2，解得：x=2，∴AP=2；④当CF=PF时，则2x2+8x+16=16+x2，解得：x=0或-8，均不符合题意，舍去；⑤当CF=PE时，则2x2+8x+16=2x2，解得：x=-2（不符合题意，舍去）；⑥当PE=PF时，则2x2=16+x2，解得：x=4或x=-4（均不符合题意，舍去）；综上所述，AP的长为4-4或4-8或2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，运用分类讨论思想和方程思想是本题的关键．26. 如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF, ∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE、CF的垂线，B、D为垂足.(1)求证:四边形ABCD是正方形，(2)已知AB的长为6，求(BE+6)(DF+6)的值，(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题:若三角形PQR中，∠QPR=45°，一条高是PH，长度为6,QH=2，则HR=        .【答案】（1）见解析；（2）72；（3）3.【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形先证得四边形ABCD是矩形，再过点A作AG⊥EF于点G，根据角平分线的性质得出AB=AG= AD，问题即得解决；（2）如图1，通过两次运用HL可证得EF=BE+DF，再设BE=x，DF=y，在Rt△CEF中，根据勾股定理得出关于x、y的等式，再整体代入展开整理后的式子即可得到答案；（3）如图3，作△PRH关于PR对称的△PRN，作△PQH关于PQ对称的△PQM，NR和MQ的延长线交于点K，先根据邻边相等的矩形是正方形证明四边形PNKM是正方形，再根据（2）的结论即可求出结果.【详解】解：（1）证明：∵AD⊥CD，AB⊥CB，∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形，如图1，过点A作AG⊥EF于点G，∵AF平分∠DFE，AD⊥CD，∴AG=AD，同理可得：AG=AB，∴AB=AD.∴矩形ABCD是正方形. （2）在Rt△ADF和Rt△AGF中，∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL）.∴DF=GF，同理可得BE=GE.∴EF=GE+GF=BE+DF.设BE=EG=x，DF=FG=y，则CE=6－x，CF=6－y，如图2：在Rt△CEF中，根据勾股定理得：，即，整理得：.∴.（3）如图3，作△PRH关于PR对称的△PRN，作△PQH关于PQ对称的△PQM，NR和MQ的延长线交于点K，则PN=PH=6，PM=PH=6，∠2=∠1，∠4=∠3，∠N=∠PHR=90°，∠M=∠PHQ=90°，MQ=HQ=2，NR=HR，∴PN=PM=6，∵∠1+∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，即∠NPM=90°，∴四边形PNKM是正方形.∵RQ=RH+HQ=NR+QM，∴由（2）题的结论知：，即，解得，即HR=3.故答案为：3.【点睛】本题是四边形的综合题，重点考查了正方形的性质与判定、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质和直角三角形全等的判定，较好的渗透了方程思想、整体代入计算求值和轴对称变换的解题方法，考查的知识点多，难度较大，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定方法是证明（1）题的关键；证得EF= BE+DF并灵活运用方程思想和整体代入的方法是解（2）题的关键；通过两次轴对称变换构造出解题所需的正方形KNPM是解（3）题的关键.