扬州市江都区实验初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

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扬州市江都区实验初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题
一．选择题
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ）．
A. 了解一批保温瓶的保温性能
B. 了解端午节期间苏州市场上粽子的质量
C. 了解某学校八年级学生 800 米跑步成绩
D. 了解2018 年央视春晚的收视率
3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
4. 下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）．

A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC’∥AB，则旋转角的度数为( )

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
6. 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）

A. 3对 B. 2对 C. 1对 D. 0对
7. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　）

A. B. 2 C. D. 1
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是( )

A. 2 B. 3 C. 1.2 D. 2
二．填空题
9. 为了解某校2000名师生对“新型冠状病毒”的了解情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查的总体是___________________．
10. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞150条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，则鱼塘中估计有__条鱼．
11. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________．
12. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是_____．

13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=_____．

14. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边ED的长为_____．

15. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是_____．

16. 如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为_____cm2．

17. 在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD=5，EF=2，则AB=________．
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是_____．

三．解答题
19. 江都区教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机调查了部分学生，并将他们一学期参加综合实践活动的天数进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中a=____ ___，参加调查的八年级学生人数为___ __人；
（2）根据图中信息，补全条形统计图；扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对应的圆心角的度数为____ ___；
（3）如果全市共有八年级学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人．

20. 某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球的个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
298
590
968
1202
摸到白球的频率
0.58
0.640
0580
0.596
0.590
0.605


（1）填写表中的空格；
（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是 ；
（3）若袋中有红球2个，请估计袋中白球个数．
21. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A(-2,3)，B(-6,0)，C(-1,0)．

（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形，并写出点A的对称点A'的坐标____；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A"的坐标____；
（3）请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标_______．
22. 已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．

23. 如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．
求证：四边形BECF是平行四边形．

24. 如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作交线段OE的延长线于点F，连接DF．

（1）求证：；
（2）求证：四边形ODFC是菱形．
25. 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＋∠C＝180°．

已知：在四边形ABCD中，______，______；
求证：四边形ABCD是平行四边形．
26. 如图，中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交A的外角平分线CF于点F，交内角平分线CE于E．
(1)试说明；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想形状并证明你的结论．

27. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；
（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的非长方形的勾股四边形；并写出点M的坐标.
（3）如图（2），将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，已知．求证：，即四边形是勾股四边形．

28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．

（1）求b的值和点D的坐标；
（2）点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外)
①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化?若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形?若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．



答案与解析
一．选择题
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义．
2. 下列调查中，适宜采用普查的是（ ）．
A. 了解一批保温瓶的保温性能
B. 了解端午节期间苏州市场上粽子的质量
C. 了解某学校八年级学生 800 米跑步成绩
D. 了解2018 年央视春晚的收视率
【答案】C
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A. 了解一批保温瓶的保温性能，破坏性调查，只能采用抽样调查，故本选项错误；
B. 了解端午节期间苏州市场上粽子的质量，调查面较广，不容易做到，不适合采用普查，故本选项错误；
C. 了解某学校八年级学生 800 米跑步成绩，适合普查，故本选项正确．
D. 了解2018 年央视春晚的收视率，调查面较广，不容易做到，不适合采用普查，故本选项错误；
故选择：C.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．
4. 下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）．

A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形）求解即可求得答案．
【详解】解：A、，，
四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
故本选项能判定四边形为平行四边形；
B、，
又∵
∴
∴，
四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
故本选项能判定四边形为平行四边形；
C、由，，不能判定四边形为平行四边形；
D、，，
四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
故本选项能判定四边形为平行四边形．
故选：C
【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题难度不大，掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
5. 如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC’∥AB，则旋转角的度数为( )

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质求出∠C'AB'=∠CAB=70°，AC'=AC，求出∠AC'C=∠C'CA=70° ，∠C'AC=∠BAB'=40°，即为旋转角的度数．
【详解】： ∵CC' ∥AB，∠CAB= 70°
∴∠C'CA=∠CAB = 70°
∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB' C'的位置，
∴∠C'AB' =∠CAB= 70°，AC'= AC
∴∠AC'C=∠C'CA = 70°，
∴∠C' AC= 180°- 70°- 70°= 40°
∴∠C' AC=∠BAB'= 40°，
即旋转角的度数是40°；
故选： C．
【点睛】本题考查了旋转的性质和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）

A. 3对 B. 2对 C. 1对 D. 0对
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD＝S△CBD．
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP＝S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD＝S△FPD．
∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S▱AEPG＝S▱HCFP，
∴S▱ABHG＝S▱BCFE，
同理S▱AEFD＝S▱HCDG．
即：S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AGPE＝S▱HCFP，S▱AEFD＝S▱HCDG．
故选A．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，可以把平行四边形的面积平分．
7. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　）

A. B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：设AP=x，PD=4﹣x．
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC，故=①；
同理可得△DFP∽△DAB，故=②．
①+②得=，
∴PE+PF=．故选A．
考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
点评：此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是( )

A. 2 B. 3 C. 1.2 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，AM=EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．
【详解】解：如图所示，连接AP，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∴BC边上的高h=（三角形面积法），
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF的中点，
∴AM=EF，
∴AM=AP，
∴当AP最小时，AM有最小值，
根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，
∴AP的最小值为，
∴AM的最小值为，
故选C．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二．填空题
9. 为了解某校2000名师生对“新型冠状病毒”的了解情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查的总体是___________________．
【答案】2000名师生对“新型冠状病毒”的了解情况
【解析】
【分析】根据总体的定义即可作答．
【详解】根据题意可知，此次调查的总体为：2000名师生对“新型冠状病毒”的了解情况，
故答案为：2000名师生对“新型冠状病毒”的了解情况．
【点睛】本题考查了调查中总体的概念，总体：把所考查的对象的全体叫做总体．
10. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞150条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，则鱼塘中估计有__条鱼．
【答案】1500
【解析】
【分析】根据打捞150条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有30条鱼做上标记，即可得出答案．
【详解】解：打捞150条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，
有标记的鱼占，
共有30条鱼做上标记，
鱼塘中估计有（条．
故答案为：1500．
【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
11. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________．
【答案】两直线平行
【解析】
【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
【详解】已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同，故假设不成立，即如果同位角不相等，那么这两条直线不平行．
故答案为：两直线平行．
【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
12. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是_____．

【答案】##4.8
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AO⊥BO，
∴BC＝＝5cm，
∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm2，
∵S菱形ABCD＝BC×AE，
∴BC×AE＝24，
∴AE＝cm．
故答案为 cm．
【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=_____．

【答案】18°
【解析】
【详解】试题分析：根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．

解：设∠ADF=3x°，∠FDC=2x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴2x+3x=90，
x=18°，
即∠FDC=2x°=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∴∠BDC=∠DCO=54°，
∴∠BDF=∠BDC﹣∠CDF=54°﹣36°=18°，
故答案为18°．
考点：矩形的性质．
14. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边ED的长为_____．

【答案】
【解析】
【分析】设ED=x，根据折叠性质可得GE=DE=x，AG=CD，在Rt△AGE中，由AE=AD-DE，利用勾股定理列方程求出x的值即可.
【详解】设ED=x，则AE=AD-ED=3-x，
∵矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，
∴AG=CD，EG=ED，
在Rt△AGE中，AE2=AG2+GE2，即(3-x)2=22+x2，
解得：x=，
∴ED=.
故答案为
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.
15. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是_____．

【答案】##4.8
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AO⊥BO，
∴BC＝＝5cm，
∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm2，
∵S菱形ABCD＝BC×AE，
∴BC×AE＝24，
∴AE＝cm．
故答案为 cm．
【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
16. 如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为_____cm2．

【答案】40
【解析】
【分析】由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18①，由等积法，可得4AB=5BC②，继而解方程组求得答案．
【详解】解：∵▱ABCD的周长为36cm，
∴AB+BC=18 ①，
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，
∴4AB=5BC ②，
由①②得：AB=10cm，BC=8cm，
∴▱ABCD的面积为：AB•DE=40（cm2）．
故答案40．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解方程组，求图形面积等知识，等积法是本题的关键．
17. 在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD=5，EF=2，则AB=________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠DAE，推出AB=BE，根据已知条件推出∠ADF=∠ADC，得到∠DFC=∠CDF，推出CF=CD，求解即可．
【详解】①如图1，在▱ABCD中，
∵BC=AD=10，BCAD，CD=AB，CDAB，

∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∵∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠ADF=∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∵∠ADF=∠DFC，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-2=5，
∴AB=；
②如图2，

在▱ABCD中，∵BC=AD=10，BCAD，CD=AB，CDAB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∵∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠ADF=∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∵∠ADF=∠DFC，
∴∠DFC=∠CDF，
∴CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=2，
∴BC=BE++EF+CF=2AB+EF=2AB+2=5，
∴AB=；
综上所述：AB的长为或．
故答案为：或．
【点睛】考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解题关键是判断出AB=BE=CF=CD．
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是_____．

【答案】4
【解析】
【分析】连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当、、三点共线时，最小，在中，，，求出即可．
【详解】解：连接，过点作交延长线于点，

，
∴ ，
∵ ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，

，
，
点在射线上运动，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
，
点在的延长线上，
当、、三点共线时，最小，
在中，，，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
三．解答题
19. 江都区教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机调查了部分学生，并将他们一学期参加综合实践活动的天数进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中a=____ ___，参加调查的八年级学生人数为___ __人；
（2）根据图中信息，补全条形统计图；扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对应的圆心角的度数为____ ___；
（3）如果全市共有八年级学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人．

【答案】（1）25﹪，200 (2) 108°(3) 4500
【解析】
【分析】（1）扇形统计图中，根据单位1减去其他的百分比即可求出a的值；由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比即可求出八年级学生总数；
（2）求出活动时间为5天和7天的总人数，即可补全图形；用“活动时间为4天”的百分比乘以360°即可得出结果；
（3）求出活动时间不少于4天的百分比之和，乘以6000即可得到结果．
【详解】（1）根据题意得：a=1-（5%+10%+15%+15%+30%）=25%，
八年级学生总数为20÷10%=200（人）；
（2）活动时间为5天的人数为200×25%=50（人），活动时间为7天的人数为200×5%=10（人），
补全统计图，如图所示：

“活动时间为4天”的扇形所对应的圆心角的度数为：360°×30%=108°
（3）根据题意得：6000×（30%+25%+15%+5%）=4500（人），
则活动时间不少于4天的约有4500人．
【点睛】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
20. 某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球的个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
298
590
968
1202
摸到白球的频率
0.58
0.640
0.580
0.596
0.590
0605


（1）填写表中的空格；
（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是 ；
（3）若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
【答案】（1）0.601 （2）0.6 （3）3

【解析】
【分析】（1）利用摸到白球的个数除以摸球的个数即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
【小问1详解】
解：1202÷2000=0.601；
故答案为：0.601．
【小问2详解】
当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.600；
故答案为：0.600．
【小问3详解】
∵摸到白球的概率的估计值是0.600，
∴摸到红球的概率的估计值是0.400，
∵袋中有红球2个，
∴球的个数共有：2÷0.400=5（个），
∴袋中白球的个数为5-2=3．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
21. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A(-2,3)，B(-6,0)，C(-1,0)．

（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形，并写出点A的对称点A'的坐标____；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A"的坐标____；
（3）请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标_______．
【答案】（1）画图见解析；
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）利用关于原点对称点的性质分别得出A、B、C三点关于原点O对称后对应点的位置，顺次连接，再根据坐标系写出坐标即可；
（2）利用旋转的性质，分别得出A、B、C三点关于原点O逆时针旋转90°后对应点的位置，顺次连接，再根据坐标系写出坐标即可；
（3）利用平行四边形的性质得出D点位置，进而得出答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，A'的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，即为△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得到的图形，
的坐标为；
【小问3详解】
解：利用平行四边形的性质，可得出满足条件的D点位置有3个，如图所示，
点的坐标为或或．

【点睛】本题主要考查利用旋转变换作图及求点的坐标，以及平行四边形的性质，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键．
22. 已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）50°．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；
（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠1=∠DCE，
∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠ECB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠AFB=∠1，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，
∴∠1=∠DCE=65°，
∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．
考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．
23. 如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．
求证：四边形BECF是平行四边形．

【答案】证明见详解
【解析】
【分析】通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．
【详解】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AEB与△DFC中，

∴△AEB≌△DFC（ASA），
∴BE=CF．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF．
∴四边形BECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
24. 如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作交线段OE的延长线于点F，连接DF．

（1）求证：；
（2）求证：四边形ODFC是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】解：证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．
25. 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＋∠C＝180°．

已知：在四边形ABCD中，______，______；
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】①④，证明见解析
【解析】
【分析】选择①④，利用同旁内角互补，得到，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明即可．此题答案不唯一．
【详解】选择：①④
证明： ∠B＋∠C＝180°

AD BC
四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
26. 如图，中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交A的外角平分线CF于点F，交内角平分线CE于E．
(1)试说明；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想的形状并证明你的结论．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形，证明过程见解析；（3）是直角三角形，证明过程见解析；
【解析】
【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
【详解】解：（1）∵平分，
∴ ，
∵MN//BC，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图，

，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵平分，
∴，
同理，，
∴，
∴四边形AECF是矩形．
（3）是直角三角形，
∵四边形AECF是正方形，
∴，故，
∵MN//BC，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了平行线，角平分线，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定以及平行四边形的判定，解本题的关键是证明EO=OF．
27. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；
（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的非长方形的勾股四边形；并写出点M的坐标.
（3）如图（2），将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，已知．求证：，即四边形是勾股四边形．

【答案】（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）M（3，4）或M′（4，3）（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M（3，4）或M（4，3）．
（3）欲证明DC2+BC2=AC2，只需证明∠DCE=90°．
【详解】解：（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）
（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．

（3）证明：连接EC，

∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
即四边形ABCD是勾股四边形．
28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．

（1）求b的值和点D的坐标；
（2）点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外)
①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化?若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点四边形是菱形?若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．
【答案】（1）b的值为6，D(14，8)
（2）①△AMF的周长不变，且为20；
②存在，N点坐标为或者
【解析】
【分析】（1）将点A(8，0)代入，即可求出b的值，从而即得出直线AB的解析式为，进而即得出A(0，6)．过点D作轴于点H，由正方形的性质结合题意利用“AAS”证明，即可得解；
（2）①由折叠和正方形的性质可知BM=EM，CD=BC=CE=4，，CF=CF，可证明(HL)，得出．再由△AMF的周长，结合勾股定理即可求出AB，则问题得解；②分类讨论ⅰ当OB为菱形的对角线时，ⅱ当OM为菱形的对角线时和ⅲ当OM为菱形的对角线时，根据菱形的性质、坐标系中两点之间的距离公式以及中点坐标公式列方程组，解方程即可求出答案．
【小问1详解】
将点A(8，0)代入，得，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当x=0，时，
∴A(0，6)，
∴OB=6，OA=8．
如图，过点D作轴于点H，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴(AAS)，
∴，，
∴，
∴D(14，8)；
即b的值为6，D(14，8)；
【小问2详解】
①△AMF的周长不变，理由如下，
由折叠的性质可知BM=EM，BC=CE=4，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=CE=4，，
又∵CF=CF，
∴(HL)
∴．
∵△AMF的周长，，
∴△AMF的周长．
∵OB=6，OA=8，
∴，
∴△AMF的周长，
故△AMF周长不变，且为20；
②存在以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵点M在线段AB（不含端点）上，且直线AB的解析式为，
∴设M点坐标为，且，
∵OB=6，
∴B点坐标为，
设，根据N点x轴上方，即有．
分类讨论：ⅰ当OB为菱形的对角线时，则另一条对角线为MN，
即根据菱形的性质有，对角线OB、MN互相平分，
根据、、、，结合中点坐标公式有：
，即有：，
根据，即，
有：，即：t=3，
将t=3代入，得，
此时N点坐标为：；
ⅱ当OM为菱形的对角线时，则另一条对角线为BN，
即根据菱形的性质有，对角线OM、BN互相平分，
根据、、、，结合中点坐标公式有：
，即有：，
根据，OB=6，即，
有：，
联合：，
根据，解得，
此时N点坐标为：，
此时不满足，故舍去；
ⅲ当ON为菱形的对角线时，则另一条对角线为BM，
即根据菱形的性质有，对角线ON、BM互相平分，
根据、、、，结合中点坐标公式有：
，即有：，
根据，OB=6，即，
有：，即，
联合：，解得，
此时N点坐标为：；
综上所述：N点坐标为或者
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定和性质、中点坐标公式等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．