扬州市梅岭中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

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扬州市梅岭中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题一．选择题1. 以下历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 2. 下列说法中正确的是（　　）．A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分3. 如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC度数为（    ）A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°4. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（   ）A.  B.  C.  D. 5. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ）A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是C. 只有甲、丙才 D. 只有乙、丙才是6. 如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是（    ）A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.57. 如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么下列说法不正确的是（　　）A MN∥BC B. MN＝AM C. AN＝BC D. BM＝CN8. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为（　　）A.  B.  C. 4 D. 3二．填空题9. 平行四边形ABCD两邻角∠A︰∠B＝1︰2，则∠C＝________度．10. 一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____．11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为___．12. 如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到▱AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=_____．13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A坐标是（3，4），则点C的坐标是_____．14. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____．15. 如图，在中，过对角线上一点作，，且， ，则__．16. 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE⊥AD交BD于E，若DE＝2DC，则∠DBC的大小是_____°．17. 如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为___________．18. 在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m＋1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_____．三、解答题19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）点B1的坐标为　　，点C2的坐标为　　．20. 我们把顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形．如图，在4×4的方格纸中，有格点线段AB，AC，BC，请按要求画出格点四边形．（1）在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．（2）在图2中画格点四边形ABCE，使得对角互补．21. 如图，在□ABCD中，点E，F分别为BC，AD中点，求证：四边形AECF是平行四边形．22. 如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°，AB//DE，求∠DAC的度数．23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形．24. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．（1）求证：四边形是矩形；（2）如果设，，求的长．25. 如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，已知A（a，0），C（0，b），其中a，b满足|a-4|+（b-6）2=0，点P从点O出发沿OA以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q从点B出发沿BA方向以1cm/s的速度向点A移动，设运动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求出a，b的值．（2）当t=2时，判断△PCQ的形状，并说明理由．26. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE＝　   　cm时，四边形CEDF是矩形．（直接写出答案，不需要说明理由）27. 【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．【猜想证明】（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图2，若DA＝DE，请猜想CF与E'F的数量关系并加以证明；【解决问题】（3）如图1，若BE＝3，CF＝1，请直接写出线段DE的长．28. 实践操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）①当点P与点A重合时，∠DEF＝____°；当点E与点A重合时，∠DEF＝____°；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长．（2）深入探究：若点P落在矩形ABCD内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值____．（3）拓展延伸：如图④ ，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M，AM=DE，则线段AE的长度为_________．
答案与解析一．选择题1. 以下历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义逐一判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2. 下列说法中正确的是（　　）．A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分【答案】D【解析】【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确．【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵对角线互相垂直的矩形是正方形，∴B不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；故选D．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．3. 如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC的度数为（    ）A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°【答案】A【解析】【分析】根据旋转性质得到∠BAD=40°，由角的和差求解即可．【详解】解：由旋转的性质可知，∠BAD＝40°，∵∠BAC＝50°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°，故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．【详解】如图，连接AC四边形ABCD是菱形如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，是等边三角形故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．5. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ）A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是【答案】A【解析】【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；乙方案：由，可得,即可得，再利用对角线互相平分得证；丙方案:方法同乙方案．【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形．乙方案：四边形是平行四边形，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形．丙方案:四边形是平行四边形，，， 又分别平分， 即 （ASA） 四边形为平行四边形．所以甲、乙、丙三种方案都可以．故选A．【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．6. 如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是（    ）A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5【答案】A【解析】【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF为矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可求出CP的长度．【详解】连接CM，如图所示：∵，，，∴，∵于点，于点，，∴四边形CEMF为矩形，∴， ∵点是的中点，∴，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵的面积，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．7. 如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么下列说法不正确的是（　　）A. MN∥BC B. MN＝AM C. AN＝BC D. BM＝CN【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形ABCD，可得∠B=∠D，再根据折叠可得∠D=∠NMA，再利用等量代换可得∠B=∠NMA，然后根据平行线的判定方法可得MN∥BC；首先证明四边形AMND是平行四边形，则BM=CN，AD=BC，再根据折叠可得AM=DA，则四边形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM．由以上可做出选择．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵根据折叠可得∠D=∠NMA，
∴∠B=∠NMA，
∴MN∥BC；故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DN∥AM，AD∥BC，
∵MN∥BC，
∴AD∥MN，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴BM=CN，AD=BC，
根据折叠可得AM=DA，
∴四边形AMND为菱形，
∴MN=AM；故B、D正确；
故选C．【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是找准折叠以后哪些线段是对应相等的，哪些角是对应相等的．8. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为（　　）A.  B.  C. 4 D. 3【答案】A【解析】【分析】建立下图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H，先证明△EDH≌△DGC，则DH=GC=2，DC=EH，设DC=t，则EH=t，点E的坐标为（-t，t+2），然后求得当t=0和t=3时点E的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求解．【详解】解：建立如图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．

∵BC=4，点G为边BC的中点，
∴GC=2．
∵DEFG为正方形，
∴ED=DG，∠EDG=90°．
∴∠EDH+∠GDC=90°．
又∵∠EDH+∠HED=90°，
∴∠GDC=∠HED．
在△EDH和△DGC中，∠GDC=∠HED，∠EHD=∠DCG，ED=DG，
∴△EDH≌△DGC（AAS）．
∴DH=GC=2，DC=EH．
设DC=t，则EH=t，
∴点E的坐标为（-t，t+2），
∴点E在直线y=-x+2上运动．在Rt△ABC中，，
由题意可知：0＜t≤3，
当t=0时，y=2，E（0，2）
当t=3时，y=5，E（-3，5）
∴点E运动的路线长=．
故选A．【点睛】本题考查动点的轨迹、正方形的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数的几何应用，勾股定理，解题的关键是求得点E运动的轨迹．二．填空题9. 平行四边形ABCD两邻角∠A︰∠B＝1︰2，则∠C＝________度．【答案】60【解析】【详解】试题分析：平行四边形的邻角互补，则∠A+∠B=180°，则∠A=60°，根据对角相等可得：∠C=∠A=60°.考点：平行四边形的性质10. 一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____．【答案】2【解析】【分析】方法一：根据正方形边长求出面积；方法二根据正方形是特殊的菱形，所以正方形面积等于对角线乘积的一半．【详解】解：方法一：四边形是正方形，，，由勾股定理得，，．方法二：因为正方形的对角线长为2，所以面积为：．故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为___．【答案】【解析】【分析】设对角线的交点为O，根据菱形的性质和勾股定理，计算AO=3，OB=4，根据菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半计算即可．【详解】如图，设对角线的交点为O，∵菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，∴AC⊥BD，AO=AC=3，OB=BD==4，∴BD=8，根据菱形的面积公式，得 AB×DE=AC×BD，∴5×DE=×6×8，∴DE=，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，熟练运用菱形的性质，面积公式，灵活运用勾股定理是解题的关键．12. 如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到▱AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=_____．【答案】106°【解析】【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=32°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数.【详解】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），∴AB=AB′，∠BAB′=32°，∴∠B=∠AB′B=（180°﹣32°）÷2=74°，∴∠C=180°﹣74°=106°．故答案为106°．【点睛】本题考查旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=74°是解题关键．13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（3，4），则点C的坐标是_____．【答案】（8，4）【解析】【分析】过A作AE⊥x轴于点E，根据勾股定理可求出OA的长，再由菱形的性质可得AC=OA=5，即可求出点C的坐标．详解】解：过A作AE⊥x轴于点E，∵点A的坐标是（3，4），∴OE=3，AE=4，∴，∵四边形AOBC菱形，∴AC=OA=5，∴点C的坐标是（8，4）．故答案为：（8，4）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、菱形的性质以及勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA的长．14. 如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____．【答案】##【解析】【分析】根据勾股定理列方程可求解【详解】根据折叠知， , 设 ，则 ．根据勾股定理，得： 解得， ．故答案为：【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理的应用，利用折叠的性质，发现对应边、对应角的关系为关键．15. 如图，在中，过对角线上一点作，，且， ，则__．【答案】2【解析】【分析】由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可得出四边形和四边形的面积相等，由已知条件即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，GH∥AB，S△ABD=S△CDB，四边形、、、为平行四边形，∴S△PEB=S△BGP，S△PHD=S△DFP，，即．，，；故答案为：2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．16. 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE⊥AD交BD于E，若DE＝2DC，则∠DBC的大小是_____°．【答案】20【解析】【分析】取DE的中点F，连AF，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AF＝DE，根据平行四边形和DE=2DC推出AB=AF，得到∠1=∠2=2∠3，进一步推出∠1=2∠DBC，即∠ABC=3∠DBC，把∠ABC的度数代入即可．【详解】取DE的中点F，连AF，在Rt△ADE中，AF＝DE，又∵平行四边形ABCD，DE=2DC，∴AD∥BC，AB＝CD＝DE，∴AB=AF，∠1=∠2，又∵AF=FD，∴∠2=2∠3．∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠3＝∠2＝∠1，∴∠1=2∠DBC．∴∠ABC=3∠DBC=60°，∴∠DBC=20°．故答案为20°．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解题的关键．17. 如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】【解析】【分析】根据矩形性质和矩形周长，得到，然后设，然后根据列出代数式即可求解阴影部分面积．【详解】∵矩形的周长为，∴，设，则，，，，故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质，和列代数式及整式的化简，关键是读懂题目，列出代数式．18. 在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m＋1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_____．【答案】（﹣，0）或（，0）【解析】【分析】先确定模型，设点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d），则中点E坐标为．分四边形ABCD为平行四边形，四边形ADBC为平行四边形，四边形ABDC为平行四边形三种情况分类讨论，舍去不合题意结论，问题得解．【详解】解：模型：如图，设点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d），点E为AB中点，作BC∥x轴，AC∥y轴，过点E作EF∥AC交BC于点F．∵点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d）∴点C坐标为（a，d），∴BC=a-c，AC=b-d，∵EF∥AC，∴△BEF∽BAC，∴，∴中点E坐标为．问题解答：设D（n，0），∵A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m+1），∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：①若四边形ABCD为平行四边形，对角线中点坐标为：（，）或（，），∴，解得：，∴D（﹣，0），∵D，A，B三点共线，∴此种情况不满足；②若四边形ADBC为平行四边形，对角线中点坐标为：（，）或（，），∴，解得：，∴D（﹣，0），③若四边形ABDC为平行四边形，对角线中点坐标为：（，）或（，），∴，解得：，∴D（﹣，0），故答案为：（﹣，0）或（，0）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系中线段中点的坐标公式等知识，综合性较强，熟知平行四边形的对角线互相平分，平面直角坐标系中线段中点的坐标公式是解题关键．三、解答题19. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）点B1的坐标为　　，点C2的坐标为　　．【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3），【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点、、的位置，然后顺次连接即可，（2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可；（3）根据平面直角坐标系写出点、的坐标．【小问1详解】解：如图所示，【小问2详解】解：如图所示；【小问3详解】根据坐标系可得：故答案为：，【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20. 我们把顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形．如图，在4×4的方格纸中，有格点线段AB，AC，BC，请按要求画出格点四边形．（1）在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．（2）在图2中画格点四边形ABCE，使得对角互补．【答案】（1）见解析；    （2）见解析【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的性质即可在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．（2）在图2中画格点四边形ABCE，使得∠BAE=∠BCE= 90°，即∠BAE+∠BCE=180°，可得对角互补．【小问1详解】如图1，四边形ABCD即为所求；【小问2详解】如图2，四边形ABCE即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，多边形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．21. 如图，在□ABCD中，点E，F分别为BC，AD中点，求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】答案见详解;【解析】【分析】根据题意得到AF=CE，然后根据一组对边平行且相等即可得到结论；【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD//BC∵E、F分别是BC、AD的中点∴，，且AF//CE∴AF=CE∴四边形AECF是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判断，掌握并熟练使用相关知识是本题的解题关键．22. 如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°，AB//DE，求∠DAC的度数．【答案】40°【解析】【分析】根据旋转的性质可知，∠B＝∠D，∠C＝∠E；根据三角形内角和即可求出∠BAC的度数；再根据AB∥DE，可得∠BAD＝∠D，因此可求解∠DAC的度数．【详解】∵△ABC旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°∴∠B＝∠D＝40°，∠C＝∠E＝60°∴∠BAC＝180°－40°－60°＝80°∵AB∥DE∴∠BAD＝∠D＝40°∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝80°－40°＝40°【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，运用旋转的性质得出∠C的度数是本题的关键．23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形．【答案】证明见解析【解析】【分析】先推出∠CFD=∠CED=∠FCE=90°，即可证明四边形CFDE是矩形，再根据角平分线的性质得到DF=DE，即可证明矩形CFDE是正方形．【详解】解：∵∠ACB=90°，DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠CFD=∠CED=∠FCE=90°，∴四边形CFDE是矩形，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC，∴DF=DE，∴矩形CFDE是正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，角平分线的性质，熟知正方形的判定条件是解题的关键．24. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．（1）求证：四边形是矩形；（2）如果设，，求的长．【答案】（1）见解析；    （2）10．【解析】【分析】（1）先通过两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用∠COB是直角证明四边形是矩形；（2）通过菱形的对角线互相垂直平分，求出OC、OB，用勾股定理求出BC，则OE=BC．【小问1详解】∵，∴四边形是平行四边形∵点是菱形对角线的交点∴∠COB=90°∴四边形是矩形；【小问2详解】∵点是菱形对角线AC、BD交点∴∴∵四边形是矩形∴【点睛】本题考查了菱形和矩形，熟练掌握菱形和矩形的性质和判定定理是解题的关键．25. 如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，已知A（a，0），C（0，b），其中a，b满足|a-4|+（b-6）2=0，点P从点O出发沿OA以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q从点B出发沿BA方向以1cm/s的速度向点A移动，设运动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求出a，b值．（2）当t=2时，判断△PCQ的形状，并说明理由．【答案】（1）a=4，b=6；    （2）△CPQ是等腰直角三角形．【解析】【分析】（1）根据非负性得出a，b的值即可；（2）根据勾股定理得出PC，PQ，CQ，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．【小问1详解】解：∵|a-4|+（b-6）2=0，∵|a-4|≥0，（b-6）2≥0，∴a-4=0，b-6=0，∴a=4，b=6；【小问2详解】解：当t=2时，△PCQ是等腰直角三角形，理由如下：设运动时间为t秒（0≤t≤4），∴OP=t，AQ=6-t，当t=2时，OP=2，AQ=6-2=4，∴AP=OA-OP=4-2=2，∵四边形OABC是矩形，∴∠COA=∠OAB=∠B=90°，在Rt△COA中，PC=，在Rt△APQ中，PQ=，在Rt△CBQ中，CQ=，∴CQ=PQ，PC2=PQ2+CQ2，∴△CPQ是等腰直角三角形．【点睛】此题考查矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理及其逆定理，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．26. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE＝　   　cm时，四边形CEDF是矩形．（直接写出答案，不需要说明理由）【答案】（1）见解析；（2）3.5【解析】【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定推出即可；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形； （2）当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝3，∴BM＝1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵AE＝3.5，∴DE＝1.5＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5．【点睛】本题主要考查平行四边形、矩形的判定及性质、三角形的全等的判定和性质，其中利用三角形的全等证明平行四边形及矩形是解题的关键．27. 【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．【猜想证明】（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图2，若DA＝DE，请猜想CF与E'F的数量关系并加以证明；【解决问题】（3）如图1，若BE＝3，CF＝1，请直接写出线段DE的长．【答案】（1）四边形BE'FE是正方形，理由见解析；（2）CF＝E'F，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；（3）如图1，过点D作DH⊥AE于点H．由△ADH≌△BAE，推出AH＝BE＝E'F＝3，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形．理由：如图1中，∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF+∠AEB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，由旋转可知 BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形．（2）结论：CF＝E'F．理由：如图2中，过点D作DH⊥AE于点H，则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°∵DA＝DE，∴AH＝EH＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，在△ADH和△BAE中，，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE，由旋转可知 AE＝CE'，由（1）可知四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝AH＝AE＝CE'，∴CF＝E'F．（3）如图1，过点D作DH⊥AE于点H．∵△ADH≌△BAE，∴AH＝BE＝E'F＝3，∵CF＝1，∴DH＝AE＝CE'＝3+1＝4，∴EH＝4﹣3＝1，在Rt△DEH中，DE＝．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．28. 实践操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）①当点P与点A重合时，∠DEF＝____°；当点E与点A重合时，∠DEF＝____°；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长．（2）深入探究：若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值____．（3）拓展延伸：如图④ ，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M，AM=DE，则线段AE的长度为_________．【答案】（1）①90，45②证明见解析，     （2）2    （3）【解析】【分析】（1）①当点P与点A重合时，作出图形即可得出答案；当点E与点A重合时，由折叠的性质可知EF平分，易得∠DEF的度数；②设DP、EF交于点O，证明，可得，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明四边形DEPF为平行四边形，然后根据“对角线相互垂直”可得DEPF为菱形；当时，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理可知，即有，求出x的值即可确定菱形的边长；（2）当点F与点C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠可知，由勾股定理可求得，所以，即AP的最小值为2；（3）连接EM，先证明，可知，然后设，则，，，在中，由勾股定理可知，即，求出x的值即可获得答案．【小问1详解】解：①当点P与点A重合时，如下图，则，，即EF是矩形ABCD的对称轴，故；当点E与点A重合时，点P在边AB上，则．故答案为：90，45；②当点E在AB上，点F在DC上时，由折叠性质可知，EF垂直平分DP，设DP、EF交于点O，如下图，∴，，∵四边形ABCD为矩形，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴四边形DEPF为平行四边形，∵，∴DEPF为菱形；当时，设菱形的边长为x，则，，在中，由勾股定理可知，即有，解得，∴当时，菱形的边长为；【小问2详解】若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，如下图，当点F与点C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，由折叠可知，，由勾股定理可知，，∴，即AP的最小值为2；【小问3详解】如下图，连接EM，∵，又∵，∴，∴，设，则，，∵，，∴，在中，，即，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．