2023重庆市一中高一上学期期末数学试题含解析

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秘密★启用前  【考试时间：1月12日8：00—10：00】重庆一中高2025届高一上期期末考试数学试题卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解得，根据交集含义即可得到答案.【详解】，解得，故，则，故选：C.2. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴，终边过点，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：根据题意，结合三角函数定义得，所以故选：C3. “”是“幂函数在上单调递减”的（    ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 既不充分也不必要 D. 充要【答案】D【解析】【分析】由题知，解得，再根据充要条件的概念判断即可.【详解】解：因为幂函数在上单调递减，所以，解得，所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件.故选：D4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据抽象函数的定义域,对数型复合函数的性质列不等式组即可求得.【详解】因为的定义域为，则，解得，则，所以的定义域为.故选：B5. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化．下列选项中，既是奇函数，又在定义域上是增函数的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数，幂函数和三角函数的奇偶性和单调性求解即可.【详解】选项A：令，，因为且在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，故既是奇函数，又在定义域上是增函数，A正确；选项B：的定义域为，由幂函数的图像和性质可得在上单调递增，故不具有奇偶性，在定义域上是增函数，B错误；选项C：，定义域为，由正弦函数的图像和性质可得是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，C错误；选项D：，由幂函数图像和性质可得是奇函数，在定义域上不单调，D错误；故选：A6. 已知定义在上的函数满足，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由可得，解方程组求即可.【详解】由可得，所以由解得，故选：A7. （    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式将转化为，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.【详解】故选：D.8. 已知函数有唯一零点，若，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知函数为奇函数且单调递增，进而可得函数的对称中心为，且在R上单调递增，进而即得.【详解】因为，对于函数定义域为R，且，，所以函数为奇函数，又时，单调递增，所以时，单调递增，所以函数在R上单调递增，所以的对称中心为，且在R上单调递增，因为，故，，因为，，所以，所以，所以，，故.故选：D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列命题正确的是（    ）A. B. 第一象限角一定是锐角C. 在与角终边相同的角中，最大的负角为D. 【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函数的单调性判断A，利用象限角的概念判断B，写出与角终边相同的角为，再根据判断C，利用弧度制及正弦余弦的正负判断D.【详解】因为在上单调递增，所以，A正确；表示第一象限角，当时，不是锐角，B错误；与角终边相同的角为，当时是最大负角，最大负角为，C正确；因为，所以，，所以 ，D错误；故选：AC10. 已知函数，则（    ）A. 函数的最小正周期B. 函数在上单调递增C. 函数在上的值域为D. 函数的图像关于直线对称【答案】BD【解析】【分析】作出函数的大致图象，然后逐项分析即得.【详解】因为，作出函数的大致图象，函数的最小正周期，故A错误；由图象可知函数的增区间为，故函数在上单调递增，故B正确；当时，，，故C错误；因为，所以函数的图像关于直线对称，故D正确.故选：BD.11. 已知函数是定义域为的单调函数，且满足对任意的，都有，则（    ）A. B. 若关于的方程（）有2个不相等的实数根，则C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为D. 若函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】先利用已知条件求出函数的解析式，选项A，将代入计算即可，选项B将根代入中化简即可，选项C由值域为任意实数得到满足条件的不等式，解出即可，选项D利用函数单调性建立不等式组解出即可.【详解】令，则，函数是定义域为的单调函数，因为，所以，解得，所以．对于选项A：，故A正确；对于选项B：若关于的方程（）有2个不相等的实数根，则，即，因为，所以，所以，故B选项正确；对于选项C：函数的值域为，则，即或，故C不正确，对于选项D：由函数满足对任意的实数，且，都有成立，所以函数在上单调递增，所以，故D选项正确，故选：ABD.12. 若对任意的实数，都存在以，，为三边长的三角形，则正实数的可能取值为（    ）A.  B. 1 C.  D. 2【答案】BCD【解析】【分析】由题可得恒成立，令，可得对任意恒成立，然后结合对勾函数及不等式性质即得.【详解】因为，，所以，所以恒成立，令，则对任意恒成立，因为当时，，所以，，故.故选：BCD.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为______．【答案】##【解析】【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.【详解】由题意知，圆心角为，弧长为，设扇形半径为，根据弧长公式得，则扇形面积.故答案为：14. ______．【答案】1【解析】【分析】利用两角和的正切公式计算即可.【详解】因为，所以．故答案为：1.15. 定义在上的函数满足，且，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意确定函数的周期即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以函数以为周期，所以，因为，令得，所以，所以，故答案为: .16. 已知定义在上的函数满足：①；②函数为偶函数；③当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有6个，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围.【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即，又，关于对称，所以，即，可得函数的周期，当时，可得其图象如下所示：由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可，根据图示可得，解得，即故答案为：四、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）已知，求的值；（2）计算：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据正切找到正余弦的关系，代入求出，化简原式求解.(2)根据公式化简求解.【详解】（1）即又因为，所以所以（2）因为所以18. 已知函数．（1）求的值；（2）求的单调递增区间．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简成，即可计算出的值；（2）利用整体代换法即可求得单调递增区间．【小问1详解】由可得，所以即【小问2详解】由可知，时，的单调递增，即，所以的单调递增区间为19. 已知．（1）若是的一个内角，且，求的值；（2）已知，，，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)根据诱导公式化简函数解析式，根据三角形内角的取值范围即可求的值；(2)利用余弦的两角和公式求解.【小问1详解】由题可得，所以，因为，且是的一个内角，所以.【小问2详解】因为，所以，则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以因为，所以，所以，所以.20. 已知函数（且）．（1）判断的单调性并用定义法证明；（2）若，求在上的值域．【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，证明见解析.    （2）【解析】【分析】（1）任取且，作差判断符号即可判断单调性；（2）由可得，根据将转化成一元二次函数形式，利用一元二次函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】当时，单调递增；当时，单调递减，证明如下：任取且，，因为，所以当时，，则，即，单调递增；当时，，则，即，单调递减【小问2详解】因为即解得或（舍去），所以，，所以，由（1）得当时单调递减，所以当时，， 令，则，一元二次函数对称轴为，所以在上单调递减，且，，所以在上的值域为.21. 已知函数．（1）当时，判断的奇偶性并证明；（2）若函数的图象上存在两点，，其关于轴的对称点，恰在函数的图象上，求实数的取值范围．【答案】（1）偶函数    （2）【解析】【分析】（1）结合对数运算，根据奇偶性的定义判断即可；（2）由题知函数关于轴对称的函数为，进而将问题转化为方程有两个实数根，进一步结合对数运算得以在上有两个实数根，再结合换元法，二次函数性质,数形结合求解即可.【小问1详解】解：当时，，定义域为，，所以，为偶函数.【小问2详解】解：函数的定义域为，设函数关于轴对称的函数为，设是上的任意一点，则在函数图象上，即，所以，因为函数的图象上存在两点，，其关于轴的对称点，恰在函数的图象上，所以方程至少有两个实数根，即至少有两个实数根，，所以，至少有两个实数根，即在上至少有两个实数根，所以在上至少有两个实数根，令，则在上至少有两个实数根，所以函数与图象有两个交点，因为，当时，，当时，，当时，函数与图象恰有两个交点，所以，实数的取值范围为．22. 已知定义在实数集上的函数满足，且对任意，，恒有．（1）求；（2）求证：对任意，，恒有：；（3）是否存在实数，使得不等式对任意的恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）    （2）见解析    （3）【解析】【分析】(1)根据设，令即可求解；(2)令，有，再令即可证明；（3）根据函数单调性以及用换元法，转化为分类讨论二次函数在给定区间的最值求解.【小问1详解】由题可知，，令可得.【小问2详解】因为，所以令，则有，因为，分别令可得，所以，得证.小问3详解】由（2）可得，所以，则函数在定义域上单调递减，且，所以，即恒成立，令,因为，所以，所以，且，所以，所以，也即恒成立，令，对称轴为，若，则在单调递减，则，所以解得， 若，即，则在单调递增，单调递减，则，所以此时无解，若，即，则在单调递增，单调递减，则，所以此时无解，若，即，则在单调递增，则，所以此时无解，综上，的取值范围为.