2022-2023学年福建省建瓯市八年级上册数学第一次月考模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年福建省建瓯市八年级上册数学第一次月考模拟卷（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了单 选 题，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省建瓯市八年级上册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、单 选 题（共10题；共40分）
1. 等式成立的条件是 （ ）
A. x≥1 B. x≥﹣1 C. ﹣1≤x≤1 D. x≥1或x≤﹣1
2. 如图∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝10，则PD等于（　　）

A 10 B. C. 5 D. 2.5
3. 直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（　　）
A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 12
4. 下列各式中，没有是二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
5. 如果，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（　　）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 已知直角三角形两边长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都没有对
8. 若1＜x＜2，则的值为（ ）
A. 2x-4 B. -2 C. 4-2x D. 2
9. 下列满足条件的三角形中，没有是直角三角形的是（ ）
A. 三内角之比为1∶2∶3 B. 三边长的平方之比为1∶2∶3
C. 三边长之比为3∶4∶5 D. 三内角之比为3∶4∶5
10. 下列根式中，最简二次根式是(　　)
A. B. C. D.
二、填 空 题（共6题；共24分）
11. 把根号外因式移到根号内，得_____________.
12. 计算的值是__．
13. 一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_____ cm．
14. 在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为______cm2．
15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？

16. 的小数部分为_________．
三、解 答 题
17. 计算：
（1）﹣4+
（2）+2﹣（﹣）
（3）（2+）（2﹣）；
（4）+﹣（﹣1）0．
18. 已知y=++2，求+﹣2值．
19. 已知x=+3，y=﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
20. 一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m．


（1）这个梯子的顶端A距地面有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?
21. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知AB=8cm，BC=10cm，求的长

22. 观察下列运算：
由（+1）（﹣1）=1，得=﹣1；
由（+）（﹣）=1，得=﹣；
由（+）（﹣）=1，得=﹣；
…
（1）通过观察得=　　；
（2）利用（1）中你发现的规律计算： ++…+．
23. 如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．
（1）若AC=1，BC=．求证：AD2+CF2=BE2；
（2）是否存在这样Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）

25. 如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC＜AB＜2BC．在AB边上取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．
（1）证明：∠AFM=45°；
（2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件没有变，请你在图2的位置上画出图形，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果没有成立，请猜想∠AFM的度数，并说明理由．

2022-2023学年福建省建瓯市八年级上册数学第一次月考模拟卷
（A卷）
一、单 选 题（共10题；共40分）
1. 等式成立的条件是 （ ）
A. x≥1 B. x≥﹣1 C. ﹣1≤x≤1 D. x≥1或x≤﹣1
【正确答案】A

【详解】∵等式成立，
∴ ，解得
故选A.
点睛：成立的条件是：且.
2. 如图∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝10，则PD等于（　　）

A. 10 B. C. 5 D. 2.5
【正确答案】C

【详解】∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POA．
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，
过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，

∴△OCP≌△OEP，
∴PE=PC=10．
∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，
∴PD=10×=5．
故选C．
3. 直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（　　）
A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 12
【正确答案】C

【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别是5和12，∴斜边==13，∴第三边上的中线长为×13=6.5．故选C．
4. 下列各式中，没有是二次根式的是（　　）
A B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：3﹣π＜0，无意义．故选B．
5. 如果，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：可知：，
所以，

解得，
故选：B．
6. 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（　　）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【正确答案】A

【详解】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，
故选A．
勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
7. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都没有对
【正确答案】C

【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，
此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，
此时这个三角形的周长=3+4+=7+．
故选C
8. 若1＜x＜2，则的值为（ ）
A. 2x-4 B. -2 C. 4-2x D. 2
【正确答案】D

【详解】∵1＜x＜2
∴x-3＜0，x-1＞0
∴
=3-x+x-1
=2
故选：D
9. 下列满足条件的三角形中，没有是直角三角形的是（ ）
A. 三内角之比为1∶2∶3 B. 三边长的平方之比为1∶2∶3
C. 三边长之比为3∶4∶5 D. 三内角之比为3∶4∶5
【正确答案】D

【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】A、设三个内角的度数为，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
C、设三条边为，，，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、设三个内角的度数为，，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形没有是直角三角形；
故选D．
本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10. 下列根式中，最简二次根式是(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题解析：最简二次根式应满足：（1）被开方数没有含分母；（2）被开方数中没有含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式.只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故选D.
二、填 空 题（共6题；共24分）
11. 把根号外的因式移到根号内，得_____________.
【正确答案】


【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【详解】由题意可得： ，即
∴
故
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m的取值范围.
12. 计算的值是__．
【正确答案】﹣1

【分析】先根据二次根式的性质化简，然后合并即可．
【详解】原式==．
故答案为．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
13. 一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_____ cm．
【正确答案】12

【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】如图，设AB=25是最长边，AC=15，BC=20，过C作CD⊥AB于D．
∵AC2+BC2=152+202=625，AB2=252=625，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°．
∵S△ACB=AC×BC=AB×CD，
∴AC×BC=AB×CD，
∴15×20=25CD，
∴CD=12（cm）．
故答案为12．

本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用．根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形是解答此题的突破点．
14. 在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为______cm2．
【正确答案】126或66．

【详解】解：当∠B为锐角时（如图1），

在Rt△ABD中，
BD= =5cm，
在Rt△ADC中，
CD==16cm，
∴BC=21，
∴S△ABC=•BC•AD=×21×12=126cm2；
当∠B为钝角时（如图2），

在Rt△ABD中，
BD==5cm，
在Rt△ADC中，
CD==16cm，
∴BC=CD-BD=16-5=11cm，
∴S△ABC=•BC•AD=×11×12=66cm2，
故126或66．
15. 如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？

【正确答案】49cm2．

【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3=S正方形1，S正方形C+S正方形D=S正方形3，S正方形A+S正方形B=S正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．
【详解】解：如图，根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3=S正方形1，
S正方形C+S正方形D=S正方形3，
S正方形A+S正方形B=S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形2+S正方形3=S正方形1=62=49(cm2).

故答案是：49cm2.
本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
16. 的小数部分为_________．
【正确答案】﹣4

【详解】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，∴的小数部分是﹣4．
故答案为﹣4．
三、解 答 题
17. 计算：
（1）﹣4+
（2）+2﹣（﹣）
（3）（2+）（2﹣）；
（4）+﹣（﹣1）0．
【正确答案】（1）；（2）；（3）6；（4）

【详解】试题分析：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用平方差公式计算；
（4）先利用零指数幂的意义计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
试题解析：解：（1）原式=3﹣2+=2；
（2）原式=2+2﹣3+=3﹣；
（3）原式=12﹣6=6；
（4）原式=+1+3﹣1=4．
18. 已知y=++2，求+﹣2值．
【正确答案】

【详解】试题分析：由二次根式有意义的条件可知1﹣8x=0，从而可求得x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可．
试题解析：解：由二次根式有意义的条件可知：1﹣8x=0，解得：x=．
当x=，y=2时，原式=﹣2=+4﹣2=2．
19. 已知x=+3，y=﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【正确答案】（1）36（2）12

【分析】（1）先计算出x-y=6，再利用完全平方公式得到x2-2xy+y2=（x-y）2，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算出x+y=，x-y=6，再利用平方差公式得到x2-y2=（x+y）（x-y），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）∵x=+3，y=﹣3，
∴x﹣y=6，
∴x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2=62=36；
（2）∵x=+3，y=﹣3，
∴x+y=2，x﹣y=6，
∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2×6=12．
本题考查了二次根式的化简求值：一定要先将式子变形再整体代入求值．二次根式运算的，注意结果要化成最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
20. 一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m．


（1）这个梯子的顶端A距地面有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?
【正确答案】（1）这个梯子的顶端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了．

【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）先求出BD，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知：，；，
在中，由勾股定理得：
，
∴

，
因此，这个梯子的顶端距地面有高．
（2）由图可知：AD=4m，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴

，
∴．
答：梯子的底部在水平方向滑动了．
此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解．
21. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知AB=8cm，BC=10cm，求的长

【正确答案】

【分析】根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8-x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=(8-x)2，然后解方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=(cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC=，则DE=，EF=，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的对边相等的性质，勾股定理的应用，是基础题，解题的关键是熟记性质并准确识图．

22. 观察下列运算：
由（+1）（﹣1）=1，得=﹣1；
由（+）（﹣）=1，得=﹣；
由（+）（﹣）=1，得=﹣；
…
（1）通过观察得=　　；
（2）利用（1）中你发现的规律计算： ++…+．
【正确答案】（1）；（2）

详解】试题分析：（1）根据题意确定出所求即可；
（2）原式各项化简后，合并即可得到结果．
试题解析：解：（1）==﹣；
故答案为﹣；
（2）原式=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1．
点睛：本题考查了分母有理化，弄清题中的规律是解答本题的关键．
23. 如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

【正确答案】证明见解析.

【详解】试题分析：首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，再证明△AEG≌△AEF可得EF=EG，由∠GBE=90°利用勾股定理可得BE2+CF2=EF2，那么根据勾股定理的逆定理得出以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．
试题解析：证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．则△ACF≌△ABG，∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．∵∠BAC=90°，∠GAF=90°，∴∠GAE=∠EAF=45°．在△AEG和△AEF中，∵，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF．又∵∠GBE=90°，∴BE2+BG2=EG2，即BE2+CF2=EF2，∴以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，旋转的性质，正确作出辅助线后证出△AEG≌△AEF是解答此题的关键．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．
（1）若AC=1，BC=．求证：AD2+CF2=BE2；
（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）

【正确答案】（1）证明见解析；（2）没有存在这样的Rt△ABC，理由见解析.

【详解】试题分析：（1）连接FD，根据三角形中线的定义求出CD、CE，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FD=AC，然后分别利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得证；
（2）设两直角边分别为a、b，根据（1）的思路求出AD2、CF2、BE2，再根据勾股定理列出方程表示出a、b的关系，然后用a表示出AD、CF、BE，再进行判断即可．
试题解析：（1）证明：如图，连接FD．∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD=BC=，CE=AC=，FD=AC=，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=12+（）2=，CF2=CD2+FD2=（）2+（）2=，BE2=BC2+CE2=（）2+（）2=+=，∴AD2+CF2=BE2；
（2）解：设两直角边分别为a、b．∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD=a，CE=b，FD=AC=a，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=b2+（a）2=a2+b2，CF2=CD2+FD2=（a）2+（b）2=a2+b2，BE2=BC2+CE2=a2+（b）2=a2+b2．∵AD2+CF2=BE2，∴a2+b2+a2+b2=a2+b2，整理得，a2=2b2，∴AD=b，CF=b，BE=b，∴CF：AD：BE=1：．∵没有整数是和的倍数，∴没有存在这样的Rt△ABC．

点睛：本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，用两条直角边分别表示出三条中线的平方是解题的关键，也是本题的难点．
25. 如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC＜AB＜2BC．在AB边上取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．
（1）证明：∠AFM=45°；
（2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件没有变，请你在图2的位置上画出图形，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果没有成立，请猜想∠AFM的度数，并说明理由．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）没有成立．∠AFM=135°．

【详解】试题分析：（1）连接EM，根据AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出△AEM≌△BMC；根据直角三角形的性质可知△EMC是等腰直角三角形；再平行线的性质可知∠AFM=45度．
（2）根据题意画出图形，再用（1）中方法证明∠AFM=45°没有成立．
试题解析：证明：（1）连接EM．∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．
∵AE=MB，AM=CB，∴△AEM≌△BMC，∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．
∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠BMC+∠AME=90，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠MCE=45°．∵AN∥CE，∴∠AFM=∠MCE=45°．
解：（2）画出图②．
没有成立．∠AFM=135°．
连接ME．前半部分证明方法与（1）同，∴∠MCE=45°．
∵AN∥CE，∴∠AFM+∠MCE=180°，∴∠AFM=135°．

点睛：本题比较复杂，解答此题的关键是先画出图形作出辅助线，然后全等三角形、等腰三角形及平行线的性质解答，有一定难度．






2022-2023学年福建省建瓯市八年级上册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分）
1. 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列根式中，与是同类二次根式的------------------------------------（ ）
A. B. C. D.
3. 在，，，，，中分式的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
4. 如图，已知平行四边形中，，则（ ）

A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
5. 矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为-----------------------------------------------------（ ）
A. 10cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）
A 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
7. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确的是（ ）
A. 当时，它菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（ ）．

A.
B. 2
C. 3
D 3
9. 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 的坐标是（　　）

A. （2，10） B. （﹣2，0）
C. （2，10）或（﹣2，0） D. （10，2）或（﹣2，0）
10. 在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：
①AB＝； ②当点E与点B重合时，MH＝； ③AF＋BE＝EF；④F、E分别没有与端点A、B重合时，总有S△AGF+ S△EBH= S△FEM，其中正确结论为--------------------------（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填 空 题（本大题共9空，每空2分，共计18分）
11. 当 =______时，分式的值为零；
12. 计算：__________；___________；
13. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．
14. 实数x、y满足y＝ －＋2，则x－y＝__________.
15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=_____．

16. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，F为垂足，连接DE，则∠CDE＝ ____度

17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______．


18. 如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，求BE长？

三、解 答 题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
19. 计算
（1） （2） -
（3） （4）
20. 已知a=+,b=－，求下列各式的值．
（1）a2－ab+b2 （2）a2－b2
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标A1　 　．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标A2　 　．
（3）△ABC是否为直角三角形？答　 　（填是或者没有是）．
（4）利用格点图，画出BC边上的高AD，并求出AD的长，AD＝　 　．

22. 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且CF=AE．求证：四边形BEDF平行四边形．

23. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．

24. 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，AB=CD，
EF与GH有什么位置关系？请说明理由．

25. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

26. 在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是点D、E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α=__°，此时直线CE与AB的位置关系是__．
（3）在（2）的条件下，联结AE，设△BDC的面积S1，△AEC的面积S2，则S1与S2的数量关系是_____．
（4）如图3，当点B、D、E三点没有在一直线上时，（3）中的S1与S2的数量关系仍然成立吗？试说明理由．

27. 如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．
(1)求证：DM=BM；
(2)求MH的长；
(3)如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，
设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(4)在(3)的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在,则求出t值，若没有存,在请说明理由.









2022-2023学年福建省建瓯市八年级上册数学第一次月考模拟卷
（B卷）
一、选一选（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分）
1. 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据对称图形定义逐一分析即可．
【详解】A．∵此图形旋转180°后没有能与原图形重合，∴此图形没有是对称图形，故此选项没有符合题意；
B.∵此图形旋转180°后没有能与原图形重合，∴此图形没有是对称图形，故此选项没有符合题意；
C．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是对称图形，故此选项符合题意；
D∵此图形旋转180°后没有能与原图形重合，∴此图形没有是对称图形，故此选项没有符合题意．
故选C．
本题考查对称图形应用，掌握对称的概念是解决问题的关键．
2. 下列根式中，与是同类二次根式的------------------------------------（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：，，，，故选B．
3. 在，，，，，中分式的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B

【分析】根据分式的定义进行判断；
【详解】，，，，中分式有：，，共计3个.
故选B．
考查了分式的定义，解题关键抓住分式中分母含有字母．
4. 如图，已知平行四边形中，，则（ ）

A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
【正确答案】B

【分析】利用平行四边形的对角相等，邻角互补的性质即可解答.
【详解】解：在平行四边形ABCD中，

∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的几何性质．
5. 矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为-----------------------------------------------------（ ）
A. 10cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
【正确答案】B

【详解】如图，由题意可知，在矩形ABCD中，AC+BD=10cm，∠AOB=60°，
∴AC=BD=10cm，
∴AO=BO=5cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=5cm.
故选B.

6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
【正确答案】C

【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．
【详解】如图，（1）∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，ABCD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．
故选：C．

此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
7. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
【正确答案】D

【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，没有符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，没有符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，没有符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项没有正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（ ）．

A.
B. 2
C. 3
D. 3
【正确答案】A

【详解】试题分析：把图中有关角度标上数字，如图所示：根据折叠角相等得出：∠1=∠2=30°，则∠3=30°，∴∠4=∠5=90°-30°=60°，∵DC=AB=BE=3，∴tan60°===，解得：EF=．故选A．

考点： 1．翻折变换（折叠问题）；2．锐角三角函数；3．矩形性质．
9. 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 的坐标是（　　）

A. （2，10） B. （﹣2，0）
C. （2，10）或（﹣2，0） D. （10，2）或（﹣2，0）
【正确答案】C

【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点在x轴上，O＝2，
所以，（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，（2，10），
综上所述，点的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
10. 在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：
①AB＝； ②当点E与点B重合时，MH＝； ③AF＋BE＝EF；④F、E分别没有与端点A、B重合时，总有S△AGF+ S△EBH= S△FEM，其中正确结论为--------------------------（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】B

【详解】（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，
∴AB=，故①正确；
（2）如下图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=∠C=∠MBC=90°，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=45°=∠ACF，
∴AF=CF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=，
∴MH=GC=，故②正确；

（3）如下图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2，
∵在△ECF和△ECD中，CF=CD，∠2=∠DCE，CE=CE，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE，
∵∠5=45°，
∴∠BDE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；

（4）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵MG⊥AC，MH⊥BC，
∴∠AGF=∠BHE=90°，
∴∠AFG=∠BEH=45°，
∴∠MFE=∠AFG=45°，∠MEF=∠BEH=45°，
∴△AGF、△BEH、△MEF都是等腰直角三角形，
∴AG=FG=AF，BH=HE=BE，ME=MF=EF，
∴S△AGF=AF2，S△BEH=BE2，S△MEF=EF2，
∵EF2=AF2+BE2，
∴S△AGF+S△BEH=S△MEF，故④正确.
综上所述，正确的结论是①②④.
故选B.
二、填 空 题（本大题共9空，每空2分，共计18分）
11. 当 =______时，分式的值为零；
【正确答案】-5

【详解】∵分式的值为0，
∴ ，解得.
故答案为-5.
12. 计算：__________；___________；
【正确答案】 ①. 3 ②. 30

【详解】（1）原式=3；
（2）原式=.
故答案为（1）3；（2）.
13. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．
【正确答案】x≤2

【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．
【详解】解：依题意得 2-x≥0
解得 x≤2．
故x≤2．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14. 实数x、y满足y＝ －＋2，则x－y＝__________.
【正确答案】-1

【详解】∵实数x、y满足y＝ －＋2，
∴ ，解得：，
∴，
∴.
故-1.
点睛：本题解题的关键是根据二次根式的被开方数是非负数得到，由此求得x的值，进而求得y的值，从而使问题得到解决.
15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=_____．

【正确答案】18°

【详解】试题分析：根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．

解：设∠ADF=3x°，∠FDC=2x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴2x+3x=90，
x=18°，
即∠FDC=2x°=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∴∠BDC=∠DCO=54°，
∴∠BDF=∠BDC﹣∠CDF=54°﹣36°=18°，
故答案为18°．
考点：矩形的性质．
16. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，F为垂足，连接DE，则∠CDE＝ ____度

【正确答案】60°

【分析】连接BE，根据菱形的性质得到∠BAC=40°，再根据垂直平分线的性质得到AE=BE，故∠ABE=∠BAC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，再求出∠CBE，故可得到∠CDE的度数.
【详解】如图，连接BE，
在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE
∴∠ABE=∠BAC=40°
∵菱形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=100°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=60°，
由菱形的对称性可得∠CDE=∠CBE=60°

此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质定理.
17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______．


【正确答案】##

【详解】∵四边形ABCD是正方形，其边长为4，BD是其对角线，
∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=，
又∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DAE，
∴DE=AD=4，
∴BE=，
∵EF⊥AB于点F，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=．
故答案为．
18. 如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，求BE的长？

【正确答案】3或6

【详解】试题分析：①、当B′EC为直角时，则∠BEB′也是直角，根据折叠的性质可得∠AEB=45°，则△ABE为等腰直角三角形，则BE=AE=6；②、当∠EB′C为直角时，根据折叠可得∠AB′E=∠ABE=90°，则点A、点B′、点C三点共线，则AB′=AB=6，AC=10，则B′C=10－6=4，设BE=x，则CE=8－x，B′E=x，根据Rt△B′EC的勾股定理可得：，解得x=3，即BE=3.
考点：折叠图形的性质、勾股定理.
三、解 答 题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
19. 计算
（1） （2） -
（3） （4）
【正确答案】(1) ；(2) －15；（3）； (4)

【详解】试题分析：
（1）按实数的相关运算法则计算即可；
（2）（3）（4）属于二次根式的混合运算，按二次根式的相关运算法则计算即可.
试题解析：
（1）
=-2+2
=
（2）
=1-3-（13-）
=-15
（3）
=
=
（4）
=
=
=.
20. 已知a=+,b=－，求下列各式的值．
（1）a2－ab+b2 （2）a2－b2
【正确答案】(1)9 (2)4

【详解】试题分析：
（1）先将原式应用完全平方公式变形为，再代值计算即可；
（2）先将原式用“平方差公式”分解为，再代值计算即可.
试题解析：
∵，
∴，，
∴（1）原式=
=
=
（2）原式=
=
=.
点睛：本题的解题要点是由：先得到，，再将原式分别用“完全平方公式”和“平方差公式”变形后再代值计算，这样可使计算过程更简单.
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标A1　 　．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标A2　 　．
（3）△ABC是否为直角三角形？答　 　（填是或者没有是）．
（4）利用格点图，画出BC边上的高AD，并求出AD的长，AD＝　 　．

【正确答案】 ①. （2.-4） ②. （-2,4） ③. 没有是 ④.

【详解】试题分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，即△A2B2C2与△A1B1C1关于点O成对称，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2；
（3）根据勾股定理逆定理解答即可；
（4）连接BD，过点A作AH∥BD交BC与点H，然后利用面积法求AH的长度即可.
解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，-4）；
（2）如图所示，点A2坐标（-2，4）；
（3）∵AC2=32+12=10, AB2=22+12=5, BC2=42+12=17,
∴AC2+ AB2≠ BC2,
∴△ABC没有是直角三角形；
（4）连接BD，过点A作AH∥BD交BC与点H.
∵BB1=BE, ∠BB1D=∠BEC,B1D=CE,
∴△BB1D=△BEC,
∴∠CBE=∠DBB1.
∵∠DBE=∠DBB1=90°,
∴∠DBE=∠CBE =90°,
∴BD⊥BC,
∴AH⊥BC.
∵BC2=42+12=17,
∴BC=.
∵S△ABC=4×2-×2×1-×3×1-×4×1=,
∴BC·AH=,
∴AH=7,
∴AH= .

22. 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且CF=AE．求证：四边形BEDF平行四边形．

【正确答案】见解析

【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，ABCD，由CF=AE可得DF=BE，即可证四边形BEDF是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，
∵CF=AE，
∴DF=BE，且DFBE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键．
23. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．

【正确答案】见解析

【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定．
【详解】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
本题考查了菱形判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质与判定方法是解题的关键．
24. 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，AB=CD，
EF与GH有什么位置关系？请说明理由．

【正确答案】EF⊥GH

【详解】试题分析：
如图，连接GE、GF、HF、EH，由三角形中位线定理AB=CD可证得EG= GF=FH=EH，由此可得四边形EHFG是菱形，从而可得EF⊥GH.
试题解析：
EF⊥GH，理由如下：
连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG=CD，
同理FH=CD，FG=AB，EH=AB
∵AB=CD，
∴EG= GF=FH=EH，
∴平行四边形EHFG是菱形，
∴EF⊥GH.

点睛：本题的解题要点是：顺次连接题中所告诉的四个中点，这样由“三角形中位线定理”AB=CD即可得到GF=FH=HE=GE，从而使问题得到解决.
25. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

【正确答案】（1）详见解析；（2）矩形AODE面积为

【分析】（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；
（2）证明△ABC是等边三角形，得出OA=×4=2，由勾股定理得出OB=2，由菱形的性质得出OD=OB=2，即可求出四边形AODE的面积．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
故四边形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=×4=2，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD
∴由勾股定理OB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=2，
∴四边形AODE的面积=OA•OD=2=4．
本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

26. 在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是点D、E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α=__°，此时直线CE与AB的位置关系是__．
（3）在（2）的条件下，联结AE，设△BDC的面积S1，△AEC的面积S2，则S1与S2的数量关系是_____．
（4）如图3，当点B、D、E三点没有在一直线上时，（3）中的S1与S2的数量关系仍然成立吗？试说明理由．

【正确答案】（1）DE∥AC (2) 120°，EC⊥AB；（3）S1=S2；(4) S1=S2仍然成立

【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDC=∠BAC，DC=AC∠BAC=60°，可得△ADC是等边三角形，从而可得∠DCA=∠EDC=60°，由此可得DE∥AC；
（2）如图2，在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°可得∠ABC=30°，延长EC交AB于点F，由旋转的性质可得CE=BE，∠E=∠ABC=30°，B、D、E的三点在同一直线上可得∠CBE=∠E=30°，从而可得旋转角∠BCE=120°，∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，可得∠BFC=90°，从而可得EC⊥AB；
（3）如图2，过点D作DH⊥BC于点H，由∠DCF=∠ACB=90°易得∠ACF=∠DCH，∠AFC=∠DHC=90°，AC=DC可得△ACF≌△DCH，从而可得AF=DH，BC=EC即可得到S1=S2；
（4）如图3，过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G，与（3）同理可得△AGC≌△DHC，从而可得AG=HD，EC=BC即可得到S1=S2仍然成立.
【详解】（1）DE∥AC．理由：
∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠A=∠CDE，AC=DC．
∵∠BAC=60°，AC=DC，
∴△DAC是等边三角形．
∴∠DCA=60°．
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠DCA=∠CDE=60°，
∴DE∥AC．
（2）120°；EC⊥AB，理由如下：
如图2，延长EC交AB于点F，

∵在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
由旋转的性质可得：CE=BE，∠E=∠ABC=30°，
∵B、D、E的三点在同一直线上，
∴∠CBE=∠E=30°，
∴旋转角∠BCE=120°，
又∵∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，
∴∠BFC=120°-30°=90°，
∴EC⊥AB于点F；
（3）S1=S2，理由如下：
如图2，连接AE，过点D作DH⊥BC于点H，
∴∠AFC=∠DHC=90°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACF=∠DCH，
又∵AC=DC，
∴△ACF≌△DCH，
∴AF=DH，
又∵EC=BC，
∴CE·AF=BC·DH，即S1=S2；
（4）S1=S2仍然成立，理由如下：
如图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．

∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC=∠DHC=90°
∵△ABC旋转后与△DCE全等
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=CE．
∵∠ACE+∠BCD=180°，∠GCA+∠ECA=180°，
∴∠ACG=∠DCH，
又∵∠AGC=∠DHC，AC=DC，
∴△AGC≌△DHC，
∴AG=DH，
∴EC•AF=CB•DG，即S1=S2．
（1）解第3小题关键是作出如图所示的辅助线，构造出△ACF≌△DCH，从而可得AF=DH，这样EC=BC即可证得S1=S2了；（2）解第4小题的关键是通过作出如图所示的辅助线，即可把图形转化成和第3小题相似的结构，这样即可参照第3小题的解题思路来解决本题了.
27. 如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．
(1)求证：DM=BM；
(2)求MH的长；
(3)如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，
设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(4)在(3)的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在,则求出t值，若没有存,在请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析（2）；（3）； （4）．

【详解】试题分析：（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论；
（3）由△BCM≌△DCM计算出BM=DM，分两种情况计算即可；
（4）由菱形的性质判断出△ADM≌△ABM，再判断出△BMP是等腰三角形，即可得出结论．
试题解析：解：（1）∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=∠ACB，CD=CB．在△DCM和△BCM中，∵CD=CB，∠DCM=∠BCM，CM=CM，∴△DCM≌△BCM，∴DM=BM；
（2）在Rt△ADH中，AD=5，AH=3，∴DH=4．在Rt△BHM中，BM=DM，HM=DH﹣DM=4﹣DM，BH=AB﹣AH=2，根据勾股定理得：DM2﹣MH2=BH2，即：DM2﹣（4﹣DM）2=4，∴DM=，∴MH=；
（3）在△BCM和△DCM中，∵CM=CN，∠ACD=∠ACB，CB=CD，∴△BCM≌△DCM，∴BM=DM=，∠CDM=∠CBM=90°．
①当P在AB之间时，即0＜t＜2.5时，S=（5﹣2t）×=﹣t+；
②当P在BC之间时，即2.5＜t≤5时，S=（2t﹣5）×=t﹣；
综上所述： ；
（4）存在．∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，∴∠ADM+∠BCD=90°．∵∠MPB+∠BCD=90°，∴∠MPB=∠ADM．∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM=∠BAM．∵AM=AM，∴△ADM≌△ABM，∴∠ADM=∠ABM，∴∠MPB=∠ABM．∴MP=MB．∵MH⊥AB，∴PH=BH=2，∴BP=2BH=4．∵AB=5，∴AP=1，∴t==．
点睛：本题是四边形综合题．∠MPB=∠ABM的判断是解答本题的关键．