人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程教学演示课件ppt

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例1圆C的圆心在l1:x-y-1=0上,与l2:4x+3y+14=0相切,且截l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6,求圆C的方程.
方法技巧 确定圆的方程的主要方法一是定义法,二是待定系数法.定义法主要是利用直线和圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而得出圆的标准方程;待定系数法则是设出圆的方程(多为一般式),再根据题目条件列方程(组)求出待定的系数.
变式训练1已知直线l过点P(3,1),且被两条平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.
例2已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1) 的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.思路分析本题可将 和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)距离的平方,然后结合图形求解.
方法技巧 解决与圆有关的最大(小)值问题的常用方法(1)形如 的最大(小)值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最大(小)值问题;(2)形如t=ax+by的最大(小)值问题,可转化为动直线的截距的最大(小)值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最大(小)值问题,可转化为动点到定点的距离的最大(小)值问题.
变式训练2已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上.(1)求 的最大值和最小值;(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.
(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示点C(x,y)与A(-1,0)的距离的平方加上2.连接AC,交圆C于B,延长AC,交圆于D,图略,可得AB为最短,且为AD为最长,且为|AC|+r=5+2=7.则x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.
例3已知圆的方程为x2+y2=r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.思路分析利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解.
(方法2)设Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),即(x-a)2+(y-b)2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2r2-2(x1x2+y1y2).①又AB与PQ的中点重合,故x+a=x1+x2,y+b=y1+y2,即(x+a)2+(y+b)2=2r2+2(x1x2+y2y2).②①+②,有x2+y2=2r2-(a2+b2),这就是所求的轨迹方程.
方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程.(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
变式训练3如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
例4一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
解 以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为
而半径长r=3,∵d>r,∴直线与圆相离.故这艘轮船不改变航线,不会受到台风的影响.
方法技巧 1.解决直线与圆的实际应用题的步骤
2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.(3)尽量使已知点位于坐标轴上.
变式训练4某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为6 m,行车道总宽度BC为2 m,侧墙面高EA,FD为2 m,弧顶高MN为5 m.
(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程.(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.