2022-2023学年湖南省宁乡市高二上学期期末考试数学试题 PDF版

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2022年下学期期末考试高二数学参考答案一、单选题（本大题共8小腿，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）题号12345678答案DBCADABC二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BCACBCDABC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.           14.             15.           16.     四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步）17.（本大题满分10分）解：(1)由已知可得，直线l的斜率k＝＝，所以直线l的方程为x－2y＝0.                           4分(2)因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心坐标为(2a，a)．                              5分因为圆C与x轴相切于(2,0)点，所以圆心在直线x＝2上，所以a＝1，                      7分所以圆心坐标为(2,1)，半径为1，                     8分所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.                    10分18. （本大题满分12分）解：（1）由题意，，    2分得，                        4分解得或当或时，直线和平行.                        6分（2）由题意，，      8分得，                     11分解得，当时，直线和重合.                         12分19. （本大题满分12分）解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系. 则，，，.     3分可得，.所以，所以                           6分（2）由（1）得到，，因此可得，.设平面的一个法向量为，则由得令，解得.                   9分同理，可求平面PDC的一个法向量.        10分所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.         12分20. （本大题满分12分）解：(1)因为，．所以，解得．                          2分所以．因为为等比数列，，且，，成等差数列．所以．                                4分设公比为q，则，所以，所以，所以，．                             6分(2)证明：由（1）得，所以①，    8分②，   9分①-②得：               10分，所以．                                 12分 21. （本大题满分12分）解：(1)由题意可得F1(0，c)，则＋＝1，解得x＝±，          2分∴△MNF2的面积S＝××2c＝＝.①   3分∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，∴a＝2b.②    4分又∵a2＝b2＋c2，③联立①②③解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程x2＋＝1.                   6分(2)当m＝0时，则P(0,0)，由椭圆的对称性得＝，即＋＝0，     ∴m＝0时，存在实数λ，使得＝＋.       7分当m≠0时，得＝＋，∵A，B，P三点共线，∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒＝3.    8分设A(x1，y1), B(x2，y2)，由得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.由＝3，得x1＝－3x2，即3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，∴＋＝0⇒m2k2＋m2－k2－4＝0, 显然m2＝1不成立，∴k2＝.∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，即>0.解得－2<m<－1或1<m<2.综上所述，m的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)∪{0}．      12分22. （本大题满分12分）(1)解：由已知得f′(1)＝，∵f′(x)＝－m，∴1－m＝，∴m＝1．          4分(2)证明：g(x)＝xf(x)＝xln x－mx2－x，∴g′(x)＝ln x－mx．①由已知g′(x)＝ln x－mx＝0有两个正数解，即m＝有两个正数解x1，x2．令h(x)＝，则h′(x)＝．由h′(x)>0得0<x<e，由h′(x)<0得x>e．∴h(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，且h(e)＝，h(1)＝0．x→0时，h(x)→－∞，x→＋∞时，h(x)→0．由图可知m的取值范围是0<m<．                 8分②由①可设0<x1<e<x2，且h(x1)＝h(x2)，构造函数φ(x)＝h(x)－h，(x>e)．则φ′(x)＝h′(x)－h′·＝．∴φ(x)在(e，＋∞)上为增函数．∵x2>e，∴φ(x2)>φ(e)，即h(x2)－h>0．∴h(x1)>h∵0<x1<e,0<<e且h(x)在(0，e)上递增，∴x1>．∴x1x2>e2．                          12分