课时作业(二十六) 抛物线的简单几何性质

这是一份课时作业(二十六) 抛物线的简单几何性质，共6页。
1．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程是( )
A．y2＝16x B．x2＝－8y
C．y2＝16x或x2＝－8y D．y2＝16x或x2＝16y
2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．4 D．2eq \r(5)
3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y2)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝( )
A．5 B．6
C．8 D．10
4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且倾斜角等于eq \f(π,3)的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则|AF|的长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
5．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．
6．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[提能力]
7．(多选)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有( )
A．以线段AB为直径的圆与直线x＝－eq \f(3,2)一定相离
B．|AB|的最小值为4
C．|AB|的最小值为2
D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切
8．(多填题)已知抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，|AB|＝8，则p＝________，M为抛物线弧AOB上的动点，△AMB面积的最大值是________．
9．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是eq \f(1,2)时，eq \(AC,\s\up6(→))＝4eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
[战疑难]
10．(多选)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是( )
A．∠CFD＝90°
B．△CMD为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为±eq \r(3)
D．△AOB的面积为4
课时作业(二十六)
1．解析：当焦点在x轴上时，根据y＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为得(4,0)，则抛物线的标准方程为y2＝16x，当焦点在y轴上时，根据x＝0，x－2y－4＝0可得焦点坐标为(0，－2)，则抛物线的标准方程为x2＝－8y.故选C.
答案：C
2．解析：由于抛物线关于x轴对称，且经过点M(2，y0)，可知抛物线开口向右，设方程为y2＝2px(p>0)，准线为x＝－eq \f(p,2)，而M点到准线距离为3，可知eq \f(p,2)＝1，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.当x＝2时，可得y0＝±2eq \r(2)，所以|OM|＝2eq \r(3).
答案：B
3．解析：由抛物线的定义知，|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝y1＋eq \f(p,2)＋y2＋eq \f(p,2)＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
答案：C
4．解析：由已知得直线AF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)．
代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，
解得x＝3或x＝eq \f(1,3).当x＝3时，y＝2eq \r(3)；
当x＝eq \f(1,3)时，y＝－eq \f(2\r(3),3)，
则A(3,2eq \r(3))，故|AF|＝3＋1＝4.
答案：B
5．解析：法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有yeq \\al(2,1)＝8x1，yeq \\al(2,2)＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝kx－4＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，
由根与系数得y1＋y2＝eq \f(8,k).
又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
答案：4x－y－15＝0
6．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
又因为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))).
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，))消去y，得x2－5x＋eq \f(9,4)＝0，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)由抛物线的定义，知中点M到准线的距离为eq \f(|AB|,2)＝eq \f(9,2).
7．解析：对于选项A，点M到准线x＝－1的距离为eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|，于是以线段AB为直径的圆与直线x＝－1一定相切，进而与直线x＝－eq \f(3,2)一定相离；
对于选项B和选项C，设A(4a2,4a)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a2)，－\f(1,a)))，于是|AB|＝4a2＋eq \f(1,4a2)＋2，最小值为4；
对于选项D，显然BM中点的横坐标与eq \f(1,2)|BM|不一定相等，因此该命题错误．故选AB.
答案：AB
8．解析：①抛物线焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程为：y＝x＋eq \f(p,2)，
代入抛物线方程得y2－3py＋eq \f(p2,4)＝0，则y1＋y2＝3p，
因为|AB|＝8＝y1＋y2＋p＝4p，所以p＝2；
②抛物线方程为：x2＝4y，直线方程为：y＝x＋1，
联立得x2－4x－4＝0，
解得x1＝2－2eq \r(2)，x2＝2＋2eq \r(2)
设点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(x\\al(2,0),4)))，(2－2eq \r(2)≤x0≤2＋2eq \r(2))，
点M到直线AB的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\f(x\\al(2,0),4)＋1)),\r(2))，
S△AMB＝eq \f(1,2)|AB|d＝2eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)－1))2－2))，当x0＝2时，面积取得最大值4eq \r(2).
答案：2 4eq \r(2)
9．解析：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝2py，,x＝2y－4))得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1y2＝4， ①,y1＋y2＝\f(8＋p,2). ②))
又∵eq \(AC,\s\up10(→))＝4eq \(AB,\s\up10(→))，∴y2＝4y1，③
由①，②，③及p>0，
得y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋4))得x2－4kx－16k＝0，④
∴x0＝eq \f(xC＋xB,2)＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为
y－2k2－4k＝－eq \f(1,k)(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为
b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，
由Δ＝16k2＋64k>0，得k>0或k